[论文解读] On the Regularity of Geodesics in the Space of Kähler Metrics

Jianchun Chu, Valentino Tosatti+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用 12

一句话总结

本文證明了在緊緻凱勒流形上，任意兩個凱勒勢能之間存在具有 $C^{1,1}$ 正則性的測地線段，其基礎是對非退化複蒙日-安培方程解建立了一個新的先驗內部實赫essian有界性，該有界性在不需假設右端項具有正下界的條件下依然成立。

ABSTRACT

We prove that any two Kahler potentials on a compact Kahler manifold can be connected by a geodesic segment of $$C^{1,1}$$ regularity. This follows from an a priori interior real Hessian bound for solutions of the nondegenerate complex Monge-Ampere equation, which is independent of a positive lower bound for the right hand side.

研究动机与目标

• 在緊緻凱勒流形上，建立凱勒度量空間中測地線的正則性。
• 解決在不假設複蒙日-安培方程右端項具有正下界的情況下，控制測地線段曲率增長的挑戰。
• 推導出不依賴於此類下界之先驗內部實赫essian有界性，進而實現在最小假設下的正則性結果。
• 透過證明任意兩個凱勒勢能之間連接路徑均具有 $C^{1,1}$ 正則性，擴展對無限維凱勒幾何中測地線路徑的理解。

提出的方法

• 推導非退化複蒙日-安培方程解的先驗內部實赫essian有界性。
• 在凱勒度量空間中測地線方程的背景下應用該有界性，專注於 $C^{1,1}$ 正則性。
• 運用橢圓型偏微分方程理論與複幾何技術，控制測地線上凱勒勢能的二階導數。
• 在區域內部均勻地建立該有界性，且不依賴於方程右端項的下確界。
• 依賴最大值原理論證，並對複蒙日-安培方程解的赫essian進行精確估計。
• 透過所導出的正則性控制，求解測地線方程，從而構造任意兩個凱勒勢能之間的測地線段。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可證明緊緻凱勒流形上任意兩個凱勒勢能之間的測地線段具有 $C^{1,1}$ 正則性？
• RQ2 是否可在不假設複蒙日-安培方程右端項具有正下界的情況下，推導出解的先驗實赫essian有界性？
• RQ3 若無此類下界約束，是否會影響凱勒度量空間中測地線的正則性？
• RQ4 是否可僅使用內蘊的幾何與分析工具，在資料的最小假設下建立測地線的正則性？
• RQ5 內部赫essian估計在控制無限維凱勒流形中測地線行為的過程中扮演何種角色？

主要发现

• 緊緻凱勒流形上任意兩個凱勒勢能之間，皆可由 $C^{1,1}$ 正則性的測地線段連接。
• 對非退化複蒙日-安培方程的解，建立了先驗內部實赫essian有界性。
• 該赫essian有界性不依賴於方程右端項的正下界，此為關鍵創新之處。
• 該有界性確保了測地線上凱勒勢能二階導數的均勻控制。
• 結果顯示，無論右端項大小為何，凱勒度量空間中的測地線在 $C^{1,1}$ 拓撲下皆表現良好。
• 該方法提供了一套強健的框架，用於分析凱勒幾何中測地線路徑，且無需對曲率或體積形式施加限制性假設。