[论文解读] On the regularity of maps solutions of optimal transportation problems

Grégoire Loeper|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 23

一句话总结

本文確立了在任意光滑正數據下，Monge問題中最佳輸運映射連續性的必要且充分條件——非負成本截面曲率。論文證明，當成本函數為黎曼流形上的平方距離時，成本截面曲率簡化為流形的截面曲率，若流形在任何處具有負曲率，則最佳映射將不連續。

ABSTRACT

We give a necessary and sufficient condition on the cost function so that the map solution of Monge's optimal transportation problem is continuous for arbitrary smooth positive data. This condition was first introduced by Ma, Trudinger and Wang \cite{MTW, TW} for a priori estimates of the corresponding Monge-Ampère equation. It is expressed by a so-called {\em cost-sectional curvature} being non-negative. We show that when the cost function is the squared distance of a Riemannian manifold, the cost-sectional curvature yields the sectional curvature. As a consequence, if the manifold does not have non-negative sectional curvature everywhere, the optimal transport map {\em can not be continuous} for arbitrary smooth positive data. The non-negativity of the cost-sectional curvature is shown to be equivalent to the connectedness of the contact set between any cost-convex function (the proper generalization of a convex function) and any of its supporting functions. When the cost-sectional curvature is uniformly positive, we obtain that optimal maps are continuous or Hölder continuous under quite weak assumptions on the data, compared to what is needed in the Euclidean case. This case includes the reflector antenna problem and the squared Riemannian distance on the sphere.

研究动机与目标

• 確立最佳輸運映射對任意光滑正數據連續的精確條件。
• 以成本截面曲率的角度，釐清Ma-Trudinger-Wang條件（A3w）的幾何意義。
• 建立成本截面曲率與黎曼流形截面曲率之間的聯繫。
• 證明在具有負截面曲率的流形上，最佳輸運映射會出現不連續。
• 顯示在較弱數據假設下，成本截面曲率的均勻正性可確保最佳映射的 Hölder 連續性。

提出的方法

• 引入成本截面曲率張量 $\mathfrak{S}_c(x,y)(\xi,\nu)$，作為成本函數的截面曲率之推廣。
• 定義並分析 c-凸性以及 c-凸函數與其支撐函數之間的接觸集概念。
• 利用 A3w 條件（非負成本截面曲率）證明接觸集的連通性，此為正則性之關鍵。
• 應用幾何與測度論技術，包括目標空間中線段鄰域的體積估計。
• 採用 Kantorovich 對偶框架，將最佳輸運計畫與 c-凸勢能及其次微分聯繫起來。
• 構造支撐函數，並在 A1 與 A2 條件下利用微分同胚性質，推導出輸運鄰域測度的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於最佳輸運映射在任意光滑正數據下連續，成本函數的必要且充分條件為何？
• RQ2 當成本為黎曼流形上的平方距離時，成本截面曲率與流形截面曲率之間的關係為何？
• RQ3 在底層流形的何種幾何條件下，最佳輸運映射會失去連續性？
• RQ4 在更強的曲率假設下（如成本截面曲率均為正），最佳映射的正則性是否可進一步提升？
• RQ5 c-凸函數與其支撐函數之間接觸集的連通性，在最佳映射正則性中扮演何種角色？

主要发现

• 成本截面曲率條件 A3w（非負成本截面曲率）在任意光滑正數據下，對最佳輸運映射的連續性而言，既是必要也是充分條件。
• 當成本函數為黎曼流形上的平方距離時，成本截面曲率與流形的截面曲率完全一致。
• 若黎曼流形在某點具有負截面曲率，則對任意光滑正數據，最佳輸運映射不可能連續。
• 成本截面曲率的均勻正性可確保在數據假設最弱的情況下，最佳映射為連續或甚至 Hölder 連續，此結果優於歐幾里得情形下的已知成果。
• c-凸函數與其支撐函數之間接觸集的連通性，等價於成本截面曲率的非負性。
• 在球面（具有正截面曲率）上的二次成本下，最佳輸運映射是連續的，此結果在非平凡的幾何設定中驗證了理論。