[论文解读] On the regularity of weak solutions of the 3D Navier-Stokes equations in $B^{-1}_{\infty,\infty}$

Alexey Cheskidov, Roman Shvydkoy|ArXiv.org|Aug 22, 2007

Navier-Stokes equation solutions参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文通过证明：若解在临界型贝索夫空间 $B^{-1}_{∞,∞}$ 中连续，或其跳跃被粘性系数的常数倍所限制，则 3D 纳维-斯托克斯方程的勒雷-霍普夫解在 $(0,T]$ 上是正则的，从而建立了该方程的新正则性准则。证明依赖于对非线性项的频率局部化估计，并将经典的利亚什琴科-普罗迪-塞林正则性准则推广至极限空间 $B^{-1}_{∞,∞}$。

ABSTRACT

We show that if a Leray-Hopf solution $u$ to the 3D Navier-Stokes equation belongs to $C((0,T]; B^{-1}_{\infty,\infty})$ or its jumps in the $B^{-1}_{\infty,\infty}$-norm do not exceed a constant multiple of viscosity, then $u$ is regular on $(0,T]$. Our method uses frequency local estimates on the nonlinear term, and yields an extension of the classical Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin criterion.

研究动机与目标

• 在临界空间 $B^{-1}_{∞,∞}$ 中建立 3D 纳维-斯托克斯方程弱解的新正则性准则。
• 确定 $B^{-1}_{∞,∞}$-范数的有界性或受控不连续性是否能蕴含勒雷-霍普夫解的正则性。
• 将经典的利亚什琴科-普罗迪-塞林正则性准则推广至极限空间 $B^{-1}_{∞,∞}$，该空间包含 $L^3$ 和 $BMO^{-1}$。

提出的方法

• 通过 Littlewood-Paley 分解使用频率局部化的能量估计来控制纳维-斯托克斯方程中的非线性项。
• 应用 Bernstein 不等式和 Young 不等式来控制二元频率块中非线性相互作用的大小。
• 推导出关于 $\lambda_q^{2r-2}\|u_q\|_{L^2}^{2r}$ 的微分不等式，其中 $u_q$ 为速度场的第 $q$ 个二元频率投影。
• 引入一个涉及粘性系数与 $B^{-1}_{∞,∞}$-范数的阈值条件，以允许解中存在受控跳跃。
• 利用 Levi 收敛定理及对高频块的求和估计，控制临界空间中 $\|u_q\|_{L^2}$ 的增长。
• 在子区间上建立 $H^s$（$s>1/2$）的统一有界性，从而通过已知的嵌入定理推出正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 勒雷-霍普夫解在空间 $B^{-1}_{∞,∞}$ 上于 $(0,T]$ 连续，是否意味着其在该区间上正则？
• RQ2 若解在 $B^{-1}_{∞,∞}$ 中存在不连续性，但跳跃大小被粘性系数的常数倍所限制，正则性是否仍能保持？
• RQ3 经典的利亚什琴科-普罗迪-塞林准则能否推广至极限空间 $B^{-1}_{∞,∞}$，即 3D 纳维-斯托克斯方程临界尺度空间的端点？
• RQ4 是否存在一个以 $B^{-1}_{∞,∞}$-范数表示的定量正则性阈值，即使存在小跳跃也能保证全局正则性？
• RQ5 该结果是否可推广至齐次贝索夫空间 $\dot{B}^{-1}_{∞,∞}$，并与文献中近期结果进行比较？

主要发现

• 若勒雷-霍普夫解 $u$ 属于 $C((0,T];B^{-1}_{∞,∞})$，则其在 $(0,T]$ 上正则。
• 即使 $u$ 不连续，只要其在 $B^{-1}_{∞,∞}$-范数中的所有跳跃均被粘性系数的常数倍所限制，则解仍为正则。
• 若存在某个 $r \in (2,\infty)$ 使得 $\|u\|_{L^r((0,T);B^{rac{2}{r}-1}_{∞,∞})} < \infty$，则解正则，这将利亚什琴科-普罗迪-塞林准则推广至端点空间。
• 若 $\|u(t)\|_{B^{-1}_{∞,∞}} \leq c\nu$ 对某个绝对常数 $c$ 成立，则解正则，提供了依赖于粘性系数的阈值。
• 该结果在全空间 $\mathbb{R}^3$ 和周期情形下均成立，表明其具有广泛适用性。
• 该方法给出了经典准则的定量推广，其有界性依赖于粘性系数与可积指数 $r$。