[论文解读] On the regularized Siegel-Weil formula (the second term identity) and non-vanishing of theta lifts from orthogonal groups

Wee Teck Gan, Shuichiro Takeda|ArXiv.org|Feb 3, 2009

Advanced Algebra and Geometry被引用 4

一句话总结

本文在第二项范围（$r+1 \leq m \leq 2r$）内为偶正交群的正则化 Siegel-Weil 公式建立了弱第二项恒等式，从而实现了 Rallis 内积公式。证明了当在某处满足自对偶性条件时，若非完全标准 $L$-函数 $L^S(s,\pi)$ 在 $s = 1 + \frac{2r - m}{2}$ 处不为零，则对 $\mathrm{O}(V)$ 上的尖形式自守表示 $\pi$（$\dim V = m$）到 $\mathrm{Sp}_{2r}$ 的全局 theta 提升不为零。

ABSTRACT

We derive a (weak) second term identity for the regularized Siegel-Weil formula for the even orthogonal group, which is used to obtain a Rallis inner product formula in the "second term range". As an application, we show the following non-vanishing result of global theta lifts from orthogonal groups. Let $π$ be a cuspidal automorphic representation of an orthogonal group $O(V)$ with $\dim V=m$ even and $r+1\leq m\leq 2r$. Assume further that there is a place $v$ such that $π_v\congπ_v\otimes\det$. Then the global theta lift of $π$ to $Sp_{2r}$ does not vanish up to twisting by automorphic determinant characters if the (incomplete) standard $L$-function $L^S(s,π)$ does not vanish at $s=1+\frac{2r-m}{2}$. Note that we impose no further condition on $V$ or $π$. We also show analogous non-vanishing results when $m > 2r$ (the "first term range") in terms of poles of $L^S(s,π)$ and consider the "lowest occurrence" conjecture of the theta lift from the orthogonal group.

研究动机与目标

• 在第二项范围（$r+1 \leq m \leq 2r$）内为正交群的正则化 Siegel-Weil 公式建立弱第二项恒等式。
• 利用第二项恒等式推导该范围内的 Rallis 内积公式。
• 在 $L$-函数非零与自对偶性条件之下，证明从正交群到辛群的全局 theta 提升不为零。
• 研究从正交群出发的 theta 提升的“最低出现”猜想。

提出的方法

• 推导出正则化 theta 积分的一阶留数 $B_{-1}^{(m,r)}(\varphi)$ 与 Siegel Eisenstein 系列的常数项 $A_0^{(m,r)}(\varphi)$ 之间的弱第二项恒等式。
• 在临界点 $s = \rho_r' = \frac{r+1}{2}$ 和 $s = \rho_{m,r} = \frac{2r - m + 1}{2}$ 处分别对正则化 theta 积分 $\mathcal{E}^{(m,r)}(g,s;\varphi)$ 与 Eisenstein 系列 $E^{(m,m)}(g,s;\Phi_\varphi)$ 进行洛朗展开。
• 应用内积公式，将 theta 提升的自守内积与 $L$-函数的特殊值及局部 zeta 积分联系起来。
• 将注意力限制在 $\mathrm{O}(\mathcal{V},\mathbb{A})$-张成的球对称向量 $\varphi^0$ 的 Schwartz 函数 $\varphi$ 上，以确保第二项恒等式以弱形式成立。
• 利用 theta 提升内积的非零性，推导出 $L$-函数在临界点处的非零性。
• 借助第二项恒等式的猜想性推广，推导出基于 $L$-函数极点与零点的 theta 提升最低出现的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在第二项范围（$r+1 \leq m \leq 2r$）内，正则化 Siegel-Weil 公式是否对正交群存在第二项恒等式？
• RQ2 能否利用此类恒等式将 Rallis 内积公式扩展至该第二项范围？
• RQ3 在何种条件下，$\mathrm{O}(V)$ 上尖形式自守表示 $\pi$ 到 $\mathrm{Sp}_{2r}$ 的全局 theta 提升不为零？
• RQ4 标准 $L$-函数 $L^S(s,\pi)$ 的极点与零点如何与 theta 提升的最低出现相关？
• RQ5 弱第二项恒等式能否推广至所有 Schwartz 函数，以加强非零性结果？

主要发现

• 在 $\varphi$ 属于球对称向量的 $\mathrm{O}(\mathcal{V},\mathbb{A})$-张成空间的条件下，建立了正则化 theta 积分的一阶留数 $B_{-1}^{(m,r)}(\varphi)$ 与 Eisenstein 系列常数项 $A_0^{(m,r)}(\varphi)$ 之间的弱第二项恒等式。
• 在某处满足 $\pi_v \cong \pi_v \otimes \det$ 的自对偶性条件下，证明了 $\pi$ 到 $\mathrm{Sp}_{2r}$ 的全局 theta 提升不为零，前提是 $L^S(s,\pi)$ 在 $s = 1 + \frac{2r - m}{2}$ 处不为零。
• 当 $m > 2r$ 时，类似地得到了基于 $L^S(s,\pi)$ 极点的非零性结果，扩展了第一项范围的分析。
• 推导出 theta 提升最低出现 $\mathrm{LO}_\psi(\pi)$ 的界：在极点条件下有 $\frac{m}{2} - \operatorname{Pole}(\pi) \leq \mathrm{LO}_\psi(\pi) \leq \frac{m}{2} - \operatorname{Pole}^S(\pi)$。
• 在零点条件与自对偶性假设下，若强第二项恒等式猜想成立，则对偶数 $m$，建立了界 $\frac{m}{2} - 1 + \operatorname{Zero}(\pi) \leq \mathrm{LO}_\psi(\pi) \leq \frac{m}{2} - 1 + \operatorname{Zero}^S(\pi)$。
• 证明依赖于内积公式及 theta 提升内积的非零性，后者蕴含了在临界点 $s = \rho_{m,r}$ 处 $L$-函数的非零性。