[论文解读] On the Relation Between Fock and Schroedinger Representations for a Scalar Field

Alejandro Corichi, Jerónimo Cortez+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2002

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 35被引用 26

一句话总结

本文為闵可夫斯基时空及任意全局双曲弯曲时空中的自由实标量场，建立了福克表示与薛定谔表示之间严谨的数学框架。结果表明，对应于标准福克真空的薛定谔表示由高斯测度描述，通过泛函微分与算符约束显式推导出真空波 functional，证实了在平坦与弯曲背景中两种表示之间的一致性。

ABSTRACT

Linear free field theories are one of the few Quantum Field Theories that are exactly soluble. There are, however, (at least) two very different languages to describe them, Fock space methods and the Schroedinger functional description. In this paper, the precise sense in which the two representations are related is reviewed. Several properties of these representations are studied, among them the well known fact that the Schroedinger counterpart of the usual Fock representation is described by a Gaussian measure. A real scalar field theory is considered, both on Minkowski spacetime for arbitrary, non-inertial embeddings of the Cauchy surface, and for arbitrary (globally hyperbolic) curved spacetimes. As a concrete example, the Schroedinger representation on stationary and homogeneous cosmological spacetimes is constructed.

研究动机与目标

• 澄清量子场论中福克表示与薛定谔表示之间精确的数学关系。
• 填补对场论（特别是弯曲时空中的场论）中薛定谔表示理解上的概念与技术空白。
• 为静态且均匀的宇宙时空中的标量场构建薛定谔表示。
• 通过泛函微分方程与算符约束，严格推导薛定谔表示中真空波 functional。
• 证明标准福克真空的薛定谔对应为高斯测度，确认其与正则量子化的相容性。

提出的方法

• 通过将场构型与动量算符定义为标量场空间上的泛函微分，推导出薛定谔表示。
• 利用真空态必须被湮灭算符（作为相空间上的复线性泛函）所湮灭的条件。
• 应用泛函微分方程 $ \frac{\delta \Psi_0[\varphi]}{\delta \varphi} = -({\cal Q} \cdot \varphi) \Psi_0[\varphi] $，其中 $ {\cal Q} = ({\bf{1}} - iC)B^{-1} $，以确定真空波 functional。
• 将真空波 functional 构造为 $ \Psi_0[\varphi] = e^{-\frac{1}{2}\int_{\Sigma} \varphi (B^{-1} - iCB^{-1}) \varphi} $，确保其与高斯测度的一致性。
• 通过检查算符 $ {\cal Q} $ 的泛函导数与对称性，验证所推导的波 functional 满足真空条件。
• 确认测度 $ d\mu = {\cal D}\varphi \, e^{-\int_{\Sigma} \varphi B^{-1} \varphi} $ 在薛定谔表示中对应于标准福克真空。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标量场论中，福克表示与薛定谔表示之间如何进行数学关联？
• RQ2 在薛定谔表示中，自由标量场的真空波 functional 的显式形式是什么？
• RQ3 薛定谔表示能否在弯曲时空（特别是静态且均匀的宇宙背景）上一致地定义？
• RQ4 标准福克真空的薛定谔表示是否对应于高斯测度？
• RQ5 算符 $ {\cal Q} = ({\bf{1}} - iC)B^{-1} $ 在泛函薛定谔图像中确定真空结构时起什么作用？

主要发现

• 薛定谔表示中的真空波 functional 显式推导为 $ \Psi_0[\varphi] = e^{-\frac{1}{2}\int_{\Sigma} \varphi (B^{-1} - iCB^{-1}) \varphi} $，明确将其与福克真空联系起来。
• 泛函微分方程 $ \frac{\delta \Psi_0[\varphi]}{\delta \varphi} = -({\cal Q} \cdot \varphi) \Psi_0[\varphi] $ 完全刻画了薛定谔图像中真空态的性质。
• 算符 $ {\cal Q} = ({\bf{1}} - iC)B^{-1} $ 是对称的，确保所推导的波 functional 与幺正量子力学的一致性。
• 测度 $ d\mu = {\cal D}\varphi \, e^{-\int_{\Sigma} \varphi B^{-1} \varphi} $ 被确认为薛定谔表示中标准福克真空对应的高斯测度。
• 该构造适用于任意全局双曲时空中的标量场，包括静态且均匀的宇宙模型。
• 结果证实，福克真空的薛定谔表示在数学上是良定义的，并通过高斯测度框架在物理上具有一致性。