[论文解读] On the relation between integrability and infinite-dimensional algebras

Michael Freeman, P. West|ArXiv.org|Mar 19, 1993

Mathematical and Computational Methods参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文研究了可积系统与无穷维代数之间的深层联系，表明在特定中心电荷 c = 13 − 6n − 6/n（n > 1）下，U(1) Kac-Moody 代数中的对易荷生成例外 W-代数，这些 W-代数在 Liouville 理论中作为对称性发挥作用。此外，本文通过 W∞ 代数建立了非线性薛定谔方程与 KP 层次之间的联系，支持了可积性源于底层无穷维代数结构的猜想。

ABSTRACT

We review our work on the relation between integrability and infinite-dimensional algebras. We first consider the question of what sets of commuting charges can be constructed from the current of a \mbox{\sf U}(1) Kac-Moody algebra. It emerges that there exists a set $S_n$ of such charges for each positive integer $n>1$; the corresponding value of the central charge in the Feigin-Fuchs realization of the stress tensor is $c=13-6n-6/n$. The charges in each series can be written in terms of the generators of an exceptional \W-algebra. We show that the \W-algebras that arise in this way are symmetries of Liouville theory for special values of the coupling. We then exhibit a relationship between the ls equation and the KP hierarchy. From this it follows that there is a relationship between the ls equation and the algebra \Wi. These examples provide evidence for our conjecture that the phenomenon of integrability is intimately linked with properties of infinite dimensional algebras.

研究动机与目标

• 探索可积系统与无穷维代数（尤其是 W-代数）之间的结构性关系。
• 确定哪些对易荷集合可由 U(1) Kac-Moody 电流代数构造而成。
• 识别这些荷在何种条件下闭合成例外 W-代数，并与已知的可积模型相关联。
• 研究在非线性薛定谔方程与 KP 层次背景下 W∞ 代数的出现机制。
• 为可积性本质上源于无穷维代数对称性的猜想提供证据。

提出的方法

• 利用 Feigin-Fuchs 对应力张量的实现方法，从 U(1) Kac-Moody 电流代数构造对易荷。
• 对每个由整数 n > 1 参数化的荷系列 S_n，计算中心电荷 c = 13 − 6n − 6/n。
• 通过代数实现技术，将荷表示为例外 W-代数生成元的形式。
• 分析在特定耦合常数下 Liouville 场论的对称性结构，此时这些 W-代数出现。
• 通过 W∞ 代数在非线性薛定谔方程与 KP 层次之间建立对应关系。
• 利用 KP 层次的 Lax 算子形式化方法，将解与 W∞ 的代数结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些对易荷集合可由 U(1) Kac-Moody 电流代数构造而成，它们闭合成何种代数结构？
• RQ2 在何种中心电荷 c 值下，由 U(1) Kac-Moody 电流生成的 W-代数会成为 Liouville 场论的对称性？
• RQ3 非线性薛定谔方程如何通过无穷维代数与 KP 层次相关联？
• RQ4 W∞ 代数在连接非线性薛定谔方程与 KP 层次等可积方程中扮演何种角色？
• RQ5 在多大程度上可将可积性理解为底层无穷维代数对称性的结果？

主要发现

• 对于每个整数 n > 1，存在一个由 U(1) Kac-Moody 电流代数构造的对易荷族 S_n。
• 这些荷的 Feigin-Fuchs 实现中应力张量的中心电荷为 c = 13 − 6n − 6/n。
• 每个 S_n 系列中的荷闭合成例外 W-代数的生成元。
• 这些 W-代数在由 n 决定的特定耦合常数下是 Liouville 场论的对称性。
• 通过 W∞ 代数，非线性薛定谔方程与 KP 层次之间建立了直接的代数关系。
• 结果支持了可积性在非线性系统中本质上与无穷维代数结构密切相关这一猜想。