[论文解读] On the Relation Between Quadratic and Linear Curvature Lagrangians in Poincar\\'e Gauge Gravity

Yuri N. Obukhov, Friedrich W. Hehl|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 1996

Geophysics and Gravity Measurements被引用 14

一句话总结

本文提出一种新方法，通过在庞加莱规范引力中对拓扑二次曲率不变量进行变形，利用标量场取代常数 $\ell^{-2}$，从曲率二形式的变形中推导出爱因斯坦-嘉当拉格朗日量。通过引入标量场 $\Phi$ 代替常数 $\ell^{-2}$，该构造得到一个不含宇宙学项的纯爱因斯坦-嘉当作用量，保持共形对称性，并可推广至标量-张量引力模型。

ABSTRACT

We discuss the choice of the Lagrangian in the Poincar\\'e gauge theory of gravity. Drawing analogies to earlier de Sitter gauge models, we point out the possibility of deriving the Einstein-Cartan Lagrangian {\\it without} cosmological term from a {\\it modified} quadratic curvature invariant of {\\it topological} type.

研究动机与目标

• 探索庞加莱规范引力中爱因斯坦-嘉当拉格朗日量的动力学起源。
• 解决二次曲率模型中不希望出现的宇宙学常数问题。
• 通过标量场变形将 de Sitter 规范方法推广至庞加莱规范引力。
• 从拓扑不变量出发，构建共形不变或标量-张量扩展的爱因斯坦-嘉当引力。
• 证明爱因斯坦-嘉当作用量可自然地从不含宇宙学项的拓扑二次曲率形式中涌现。

提出的方法

• 通过标量场 $\Phi$ 对黎曼-嘉当曲率二形式 $R_{\alpha\beta}$ 进行变形，定义为 $\Omega^{\Phi}_{\alpha\beta} := R_{\alpha\beta} - \Phi^2 \vartheta_{\alpha\beta}$。
• 引入扭曲变形 $\mathcal{R}^{\Phi}_{\alpha\beta} := R_{\alpha\beta} - \Phi^2 \eta_{\alpha\beta}$ 以考虑赝标量曲率分量。
• 从变形后的曲率形式构造引力拉格朗日量，将拓扑不变量中的常数 $\ell^{-2}$ 替换为 $\Phi^2$。
• 对变形曲率应用高斯-博内定理与陈-庞特里亚金定理，推导有效拉格朗日量。
• 利用共形对称性 $\vartheta^\alpha \to e^\lambda \vartheta^\alpha$，$\Phi \to e^{-\lambda}\Phi$ 在真空情况下完全消除标量场 $\Phi$。
• 证明当通过规范选择固定 $\Phi = 1/\ell$ 时，所得拉格朗日量退化为纯爱因斯坦-嘉当形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不引入宇宙学项的前提下，从拓扑二次曲率不变量中推导出爱因斯坦-嘉当拉格朗日量？
• RQ2 在曲率变形中引入标量场 $\Phi$ 对引力动力学有何影响？
• RQ3 共形对称性在从拓扑不变量中涌现爱因斯坦-嘉当模型的过程中起什么作用？
• RQ4 能否通过标量场变形将 de Sitter 规范模型的机制推广至庞加莱规范引力？
• RQ5 在黎曼-嘉当时空中，扭曲曲率变形 $\mathcal{R}^{\Phi}_{\alpha\beta}$ 的物理含义是什么？

主要发现

• 当将变形 $\Omega^{\Phi}_{\alpha\beta} = R_{\alpha\beta} - \Phi^2 \vartheta_{\alpha\beta}$ 应用于欧拉不变量时，所得拉格朗日量等价于爱因斯坦-嘉当作用量加上一个 torsion 平方项。
• 引入标量场 $\Phi$ 后，所得拉格朗日量不包含宇宙学常数，与标准二次模型不同。
• 该模型在 $\vartheta^\alpha \to e^\lambda \vartheta^\alpha$，$\Phi \to e^{-\lambda}\Phi$ 下表现出 Weyl 共形对称性，可通过规范固定完全消除 $\Phi$。
• 共形对称性意味着当 $\Phi = 1/\ell$ 固定时，真空理论等价于标准爱因斯坦-嘉当引力。
• 当物质耦合打破共形对称性时，该模型自然推广为标量-张量引力，形成非黎曼性扩展的标量-张量理论。
• 该方法提供了一种自然机制，使爱因斯坦-嘉当拉格朗日量可从拓扑不变量中涌现，避免了早期方法中固有的宇宙学项问题。