[论文解读] On the Relation Between the Index Coding and the Network Coding Problems

Salim El Rouayheb, Alex Sprintson+1 more|ArXiv.org|Feb 1, 2008

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 7被引用 34

一句话总结

本文建立了从一般网络编码问题到索引编码问题的约化，证明了网络编码中的关键性质——例如标量线性和向量线性码的不足——可延伸至索引编码。本文证明非线性索引码甚至可优于向量线性码，从而解决了关于索引编码最优性的长期猜想。

ABSTRACT

In this paper we show that the Index Coding problem captures several important properties of the more general Network Coding problem. An instance of the Index Coding problem includes a server that holds a set of information messages $X=\{x_1,...,x_k\}$ and a set of receivers $R$. Each receiver has some side information, known to the server, represented by a subset of $X$ and demands another subset of $X$. The server uses a noiseless communication channel to broadcast encodings of messages in $X$ to satisfy the receivers' demands. The goal of the server is to find an encoding scheme that requires the minimum number of transmissions. We show that any instance of the Network Coding problem can be efficiently reduced to an instance of the Index Coding problem. Our reduction shows that several important properties of the Network Coding problem carry over to the Index Coding problem. In particular, we prove that both scalar linear and vector linear codes are insufficient for achieving the minimal number of transmissions.

研究动机与目标

• 建立索引编码问题与网络编码问题之间的正式关系。
• 研究网络编码的性质（如线性编码的局限性）是否可延伸至索引编码。
• 解决关于标量线性索引码最优性的开放猜想。
• 证明向量线性码的不足，以及非线性解在索引编码中优于线性解。

提出的方法

• 将任意网络编码实例约化为等价的索引编码实例。
• 利用该约化将网络编码中已知的结果（特别是关于线性码局限性的结果）转移至索引编码。
• 利用先前工作中提出的非帕普斯网络实例，构造出无标量线性解的索引编码实例。
• 应用Dougherty等人[9]的构造方法，展示一个无线性解但存在非线性解的网络，并将其转化为索引编码。
• 通过构造在向量线性码无法实现最优性能的索引编码实例，证明向量线性码不足以实现最优。
• 使用有限域表示和多重线性函数来建模编码方案，特别关注GF(2)和GF(3)上的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在保留关键编码性质的前提下，将网络编码问题约化为索引编码问题？
• RQ2 网络编码中标量线性编码的局限性是否也适用于索引编码？
• RQ3 是否存在一个索引编码问题实例，使得向量线性码优于标量线性码？
• RQ4 非线性索引码是否能实现少于任何线性码（包括向量线性码）的传输次数？
• RQ5 索引编码中是否存在类似于网络编码的线性与非线性解之间的根本性差距？

主要发现

• 从网络编码到索引编码的约化保留了在相同域上存在线性解的性质，从而实现了结果的转移。
• 存在索引编码实例（如源自M网络和非帕普斯网络的实例）使得向量线性码优于标量线性码。
• 对于基于M网络的索引编码实例，最优解在GF(2)上使用向量线性编码需2次传输，而标量线性编码需要更多次传输。
• 对于基于非帕普斯网络的实例，GF(3)上的向量线性编码可实现最优的2次传输上限，而标量线性编码则失败。
• 本文证明了向量线性码不足以实现最优：存在一个索引编码实例，其中非线性码可达到理论最小值，而所有线性码（标量或向量）均需更多传输次数。
• 具体而言，对于源自网络$\mathcal{N}_3$的实例，$\lambda(2,4) = \mu(\mathcal{I}_{\mathcal{N}_3})$，但对所有$n$和$q$，有$\lambda^*(n,q) < \lambda(n,q)$，从而证明非线性码优于线性码。