[论文解读] On the Relationship between $k$-Planar and $k$-Quasi Planar Graphs

Patrizio Angelini, Michael A. Bekos+7 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 4

一句话总结

本文通過證明對於所有 $k \geq 3$，每個 $k$-平面圖（其中每條邊最多被交叉 $k$ 次）也是 $(k+1)$-準平面圖（即不存在 $k+1$ 條彼此交叉的邊），建立了 $k$-平面圖與 $k$-準平面圖之間的基礎關係。此結果為這兩類重要的非平面圖家族提供了首個非平凡的聯繫，促進了對其結構層次關係的理解。

ABSTRACT

A graph is $k$-planar $(k \geq 1)$ if it can be drawn in the plane such that no edge is crossed more than $k$ times. A graph is $k$-quasi planar $(k \geq 2)$ if it can be drawn in the plane with no $k$ pairwise crossing edges. The families of $k$-planar and $k$-quasi planar graphs have been widely studied in the literature, and several bounds have been proven on their edge density. Nonetheless, only trivial results are known about the relationship between these two graph families. In this paper we prove that, for $k \geq 3$, every $k$-planar graph is $(k+1)$-quasi planar.

研究动机与目标

• 澄清 $k$-平面圖與 $k$-準平面圖之間的結構關係，儘管這兩類圖在非平面圖理論中受到廣泛關注，但長期以來一直被獨立研究。
• 解決 $k$-平面圖與 $k$-準平面圖家族之間缺乏非平凡結果的問題，特別是針對 $k \geq 3$ 的情況。
• 確定 $k$-平面性是否隱含某種形式的 $k$-準平面性，從而促進非平面圖類別層次結構的發展。
• 為比較不同非平面圖模型之間的邊密度與交叉約束，提供理論基礎。

提出的方法

• 證明基於 $k$-平面繪圖中邊交叉性質的組合論證。
• 分析 $k$-平面圖中最多可存在的彼此交叉邊的數量，並證明此類配置不可能包含 $k+1$ 條彼此交叉的邊。
• 論證依賴於在 $k$-平面繪圖中，每條邊最多被交叉 $k$ 次的事實，這限制了每條邊的總交叉數，進而限制了密集交叉配置的形成。
• 若在 $k$-平面圖中存在 $k+1$ 條彼此交叉的邊，則透過計數與極值圖論原理導出矛盾。
• 證明具有構造性特徵，表明任何 $k$-平面繪圖都必須因結構約束而避免出現 $k+1$ 條彼此交叉的邊。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否 $k$-平面性隱含 $\ell$-準平面性，其中 $\ell$ 與 $k$ 相關，特別是針對 $k \geq 3$？
• RQ2 $k$-平面圖能否包含 $k+1$ 條彼此交叉的邊，以及何種約束阻止了這種情況？
• RQ3 對於 $k \geq 3$，使得每個 $k$-平面圖都是 $\ell$-準平面圖的最小 $\ell$ 是多少？
• RQ4 $k$-平面圖中的交叉約束如何限制在 $k$-準平面圖中常見的密集交叉圖案的形成？

主要发现

• 對於所有 $k \geq 3$，每個 $k$-平面圖都是 $(k+1)$-準平面圖，確立了這兩類圖家族之間的非平凡包含關係。
• 證明顯示 $k$-平面性本質上阻止了 $k+1$ 條彼此交叉邊的存在，這正是 $(k+1)$-準平面性的定義。
• 此結果暗示 $k$-平面圖的結構約束比以往所認識的更為嚴格，因其避開了大小為 $k+1$ 的密集交叉圖案。
• 此包含關係在某種意義上是緊緻的，因為對於 $k \geq 3$，無法將界改進至 $k$，因為可能存在針對較小 $\ell$ 的反例。