[论文解读] On the relativistic theory of force-free particles with any spin

Markus Fierz, Guglielmo Pasa|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2017

Quantum Mechanics and Applications被引用 6

一句话总结

这篇1939年的论文为任意整数或半整数自旋的无外力粒子建立了相对论性量子场论，表明自旋决定了统计规律：整数自旋服从玻色-爱因斯坦统计，半整数自旋服从费米-狄拉克统计。论文推导了任意自旋的场方程、能量-动量张量和电流矢量，证明只有自旋为0、1/2和1时，电荷密度和能量密度才既满足规范不变性又为正定；更高自旋的场必须以总电荷和总能量为定义良好的量，而非局域密度。

ABSTRACT

In the free case, it is possible to define quantum fields which describe particles with integer or half-integer spin larger than one. It is shown that particles with integer spin must have Bose statistic and particles with half-integer-spin must follow Fermi-Dirac statistic. In the free case, the fields with spin smaller or equal to one are already well defined, so that for them alone, the charge and energy density are clearly identified and gauge invariant; while for the higher spin this is the case only for the total charge and total energy.

研究动机与目标

• 为无外力作用下任意固定整数或半整数自旋的粒子建立相对论性量子场论。
• 在相对论不变的框架下，阐明自旋与量子统计（玻色或费米-狄拉克）之间的联系。
• 确定电荷密度和能量密度满足规范不变性且为正定的条件。
• 通过推导任意自旋下一致的场方程和对易关系，解决狄拉克早期表述中的模糊性。
• 表明对于自旋大于1的场，只有总能量和总电荷是良好定义的，而局域密度并非如此，原因在于场分量之间不满足对易。

提出的方法

• 根据自旋f是否为整数，使用张量或旋量形式体系，构建任意自旋f的相对论性场方程。
• 从场方程推导能量-动量张量和电流矢量，确保满足洛伦兹协变性和规范不变性。
• 通过正定能量要求和场对易关系的相对论不变性，确定与每种自旋相对应的统计规律（玻色或费米-狄拉克）。
• 利用平面波解分析独立极化态的数量及其在旋转下的变换性质。
• 应用约当-泡利第二量子化方法，推导场算符的对易关系，给出自旋3/2和自旋2的显式形式。
• 引入一种特殊的旋量场表示方法，使用指标α和β标记极化态，并推导其在洛伦兹提升下的变换性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在无外力情况下，为任意自旋的粒子一致地构建相对论性量子场论？
• RQ2 为何基于相对论不变性和能量正定性，整数自旋粒子必须服从玻色-爱因斯坦统计，而半整数自旋粒子必须服从费米-狄拉克统计？
• RQ3 在何种条件下，任意自旋场的电荷密度和能量密度既满足规范不变性又为正定？
• RQ4 为何高自旋场（f > 1）无法具有良好定义的局域电荷和能量密度？哪些物理量仍然良好定义？
• RQ5 自旋3/2和自旋2的场方程与对易关系与低自旋情况相比有何异同？其物理意义是什么？

主要发现

• 对于任意自旋f，相对论性场方程由洛伦兹协变性和场对易关系的相对论不变性唯一确定。
• 由于能量正定性和场对易关系的相对论不变性，整数自旋粒子必须服从玻色-爱因斯坦统计，半整数自旋粒子必须服从费米-狄拉克统计。
• 对于自旋0、1/2和1，电荷密度和能量密度均满足规范不变性且为正定；对于自旋>1，仅总电荷和总能量是良好定义的。
• 在自旋>1的c-number理论中，不同空间点的电荷密度不满足对易，其对易子涉及D函数的导数。
• 对于自旋3/2，场方程以旋量形式表达为两个耦合方程，其对易关系涉及动量和δ函数。
• 对于自旋2，场分量之间的对易关系由包含度规和D函数的对称张量表达式给出，归一化方式使得其迹为5D(x)，与2f+1=5个极化态一致。