[论文解读] On the relaxation of unbounded multiple integrals

Omar Anza Hafsa, Jean Philippe Mandallena|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文建立了向量变分法中无界多重积分的松弛泛函的积分表示，其中被积函数非凸但具有凸的有效定义域，且可能取值无穷大。通过索伯列夫空间中的测度论局部化与逼近技术，证明了即使不依赖光滑函数的常规逼近，松弛泛函仍可通过拟凸化实现积分表示。

ABSTRACT

We study the relaxation of multiple integrals of the calculus of variations, where the integrands are nonconvex with convex effective domain and can take the value \infty. We use local techniques based on measure arguments to prove integral representation in Sobolev spaces of functions which are almost everywhere differentiable. Applications are given in the scalar case and in the case of integrands with quasiconvex growth and p(x)-growth.

研究动机与目标

• 解决当被积函数非凸且可能取值 ∞ 时，松弛泛函缺乏积分表示结果的问题。
• 通过避免依赖光滑函数或分片仿射函数的逼近，克服拉夫连蒂耶夫现象。
• 建立在向量情形（m > 1）下，松弛泛函可实现积分表示的条件。
• 通过测度论局部化与增长条件，将先前的标量情形结果推广至向量设置。
• 在具有凸有效定义域与 p-强制性（p > d）的条件下，提供积分表示的框架。

提出的方法

• 使用测度论局部化技术，分析被积函数在小立方体及其覆盖上的行为。
• 应用类似维它利的覆盖论证，构造一族不相交的立方体，覆盖给定立方体的几乎全部区域，且测度受控。
• 采用泛函 ωδL(ξ) 来量化在小集合上梯度振荡的最小能量代价。
• 引入 mξ(Q) 与 m♯ξ(Q) 的概念，表示在集合 Q 内具有紧支集的测试函数上的最小能量。
• 利用条件 (A4) 确保 L(x,ξ) 的平均值的逐点极限能刻画有效定义域。
• 将强制性条件 (A1) 与有界性条件 (A2) 结合局部化论证，以控制能量积分的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，无界且非凸的多重积分的松弛泛函可实现积分表示？
• RQ2 是否可在不依赖光滑函数或分片仿射函数逼近的前提下实现积分表示？
• RQ3 被积函数有效定义域的凸性如何影响向量情形下的松弛过程？
• RQ4 在缺乏有限性与正则性假设的条件下，被积函数的拟凸化在其中起到何种作用？
• RQ5 在该背景下，测度论局部化技术在多大程度上可解决拉夫连蒂耶夫现象？

主要发现

• 在给定假设下，松弛泛函 F̅ 在定义域 domF = {u ∈ W¹,p(Ω;ℝᵐ) : F(u) < ∞} 上具有积分表示。
• 即使 f(x,·) 非凸且可能取值 ∞，积分表示仍可通过被积函数的拟凸化实现。
• 关键结果 (8.7) 表明：lim supε→0 mξ(Qε(x))/εᵈ ≤ L(x,ξ)，确保了松弛被积函数的正确逐点行为。
• 通过使用不依赖 C¹ 或分片仿射函数逼近的测度基局部化论证，避免了拉夫连蒂耶夫现象。
• 强制性条件 (A1) 或 (A2) 确保紧嵌入，从而在 p ∈ ]d, ∞] 时，L∞ 中弱收敛与强收敛等价。
• (A3)、(A4) 与 (A6) 的组合确保了有效定义域性质良好，并与松弛过程相容。