[论文解读] On the relevance of generalized disclinations in defect mechanics

Chiqun Zhang, Amit Acharya|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2016

Composite Material Mechanics参考文献 38被引用 3

一句话总结

本文建立了广义涡旋偶极子与有限大变形弹性理论中刃位错之间的物理等价性，推导出广义涡旋偶极子的伯格斯矢量，并证明当广义涡旋强度为零时，位移跳跃与截面选择无关。通过Weingarten-gd定理给出了位移跳跃的显式公式，将涡旋、位错和晶界统一于同一框架之中。

ABSTRACT

The utility of the notion of generalized disclinations in materials science is discussed within the physical context of modeling interfacial and bulk line defects like defected grain and phase boundaries, dislocations and disclinations. The Burgers vector of a disclination dipole in linear elasticity is derived, clearly demonstrating the equivalence of its stress field to that of an edge dislocation. We also prove that the inverse deformation/displacement jump of a defect line is independent of the cut-surface when its g.disclination strength vanishes. An explicit formula for the displacement jump of a single localized composite defect line in terms of given g.disclination and dislocation strengths is deduced based on the Weingarten theorem for g.disclination theory (Weingarten-gd theorem) at finite deformation. The Burgers vector of a g.disclination dipole at finite deformation is also derived.

研究动机与目标

• 解决长期以来由于有限大变形中概念与数学复杂性导致的在实际材料建模中采用涡旋概念的障碍。
• 在非线性弹性理论中建立广义涡旋偶极子与刃位错之间严格的联系，证明其应力场等价性。
• 证明当广义涡旋强度为零时，缺陷线的位移跳跃与截面选择无关，从而支持拓扑一致性。
• 从广义涡旋运动学的角度解释Weingarten-gd定理，实现基于给定广义涡旋与位错强度的位移跳跃的显式计算。
• 在单一有限变形框架内统一处理界面与体积分立缺陷——如晶界、相界、位错与涡旋。

提出的方法

• 在线性弹性理论中推导广义涡旋偶极子的伯格斯矢量，表明其应力场与刃位错的应力场一致。
• 应用Weingarten-gd定理（来自AF15）在有限大变形下计算单个局域复合缺陷线的位移跳跃。
• 采用环路积分公式，将广义涡旋强度定义为无旋三阶张量场的标准积分。
• 提出一个广义框架，其中位移场的一阶梯度可在截面上出现跳跃，这与经典理论不同。
• 通过使用极坐标进行显式代数与坐标变换，计算缺陷线上路径积分。
• 推导出应力场与位移场的闭式表达式，包括 $ S^{*+}_{ij}, S^{*-}_{ij}, A^{*+}_{ij}, A^{*-}_{ij} $ 的分段函数形式，以及路径积分 $ oldsymbol{I}^+ $, $ oldsymbol{I}^- $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在线性弹性理论中，广义涡旋偶极子的应力场与刃位错的应力场如何比较？
• RQ2 在广义涡旋理论中，位移跳跃何时与截面选择无关？
• RQ3 在有限大变形下，单个广义涡旋的位移跳跃的显式公式是什么，其表达式如何用广义涡旋强度与位错强度表示？
• RQ4 Weingarten-gd定理如何从广义涡旋运动学角度解释，以实现缺陷场的实用计算？
• RQ5 能否使用广义涡旋理论在相同框架内一致地描述晶界与相界？

主要发现

• 在线性弹性理论中推导出广义涡旋偶极子的伯格斯矢量，并证明其产生的应力场与刃位错完全相同。
• 当广义涡旋强度为零时，位移跳跃与截面选择无关，证实了其拓扑鲁棒性。
• 位移跳跃分量 $ I^+_{1}, I^+_{2}, I^-_{1}, I^-_{2} $ 的显式表达式分别为 $ x_0 riangle^F_{11}, x_0 riangle^F_{21}, -(x_0 - d) riangle^F_{11}, -(x_0 - d) riangle^F_{21} $。
• 应力场分量 $ oldsymbol{S}^{*+}, oldsymbol{S}^{*-} $ 以分段形式推导，其闭式表达式在半径 $ r_0 $ 内外有效，涉及 $ r_+ $ 与 $ r_- $。
• 通过依赖径向距离与 $ r_0 $ 的系数 $ C_1^+, C_2^+, C_1^-, C_2^- $ 计算了辅助场 $ oldsymbol{A}^{*+}, oldsymbol{A}^{*-} $，从而实现全场重构。
• 通过极坐标变换计算路径积分 $ oldsymbol{I}^+ $ 与 $ oldsymbol{I}^- $，得到精确结果，验证了广义涡旋模型的物理一致性。