[论文解读] On the remarkable relations among PDEs integrable by the inverse spectral transform method, by the method of characteristics and by the Hopf-Cole transformation

A. I. Zenchuk, P. M. Santini|ArXiv.org|Jan 25, 2008

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文揭示了三类可积偏微分方程（PDE）之间的深层联系：可通过反散射变换求解的S-可积方程、特征线法求解的Ch-可积方程，以及通过Hopf-Cole变换求解的C-可积方程。通过将块Frobenius矩阵约化与系统性消去程序应用于矩阵Bürgers族（C-可积方程），作者生成了(2+1)维S-可积系统，如KP方程和Davey-Stewartson方程，揭示了其Lax对、对称性与解均源自低维的C-可积与Ch-可积种子方程。

ABSTRACT

We establish deep and remarkable connections among partial differential equations (PDEs) integrable by different methods: the inverse spectral transform method, the method of characteristics and the Hopf-Cole transformation. More concretely, 1) we show that the integrability properties (Lax pair, infinitely-many commuting symmetries, large classes of analytic solutions) of (2+1)-dimensional PDEs integrable by the Inverse Scattering Transform method ($S$-integrable) can be generated by the integrability properties of the (1+1)-dimensional matrix Bürgers hierarchy, integrable by the matrix Hopf-Cole transformation ($C$-integrable). 2) We show that the integrability properties i) of $S$-integrable PDEs in (1+1)-dimensions, ii) of the multidimensional generalizations of the $GL(M,\CC)$ self-dual Yang Mills equations, and iii) of the multidimensional Calogero equations can be generated by the integrability properties of a recently introduced multidimensional matrix equation solvable by the method of characteristics. To establish the above links, we consider a block Frobenius matrix reduction of the relevant matrix fields, leading to integrable chains of matrix equations for the blocks of such a Frobenius matrix, followed by a systematic elimination procedure of some of these blocks. The construction of large classes of solutions of the soliton equations from solutions of the matrix Bürgers hierarchy turns out to be intimately related to the construction of solutions in Sato theory. 3) We finally show that suitable generalizations of the block Frobenius matrix reduction of the matrix Bürgers hierarchy generates PDEs exhibiting integrability properties in common with both $S$- and $C$- integrable equations.

研究动机与目标

• 揭示可通过反散射变换求解的PDE（S-可积方程）、特征线法求解的PDE（Ch-可积方程）以及通过Hopf-Cole变换求解的PDE（C-可积方程）之间在结构与可积性方面的基本联系。
• 证明(2+1)维S-可积系统所具有的可积性特征——如Lax对、对易对称性与解析解——可源自矩阵Bürgers族（C-可积方程）通过矩阵约化技术的构造。
• 表明包括GL(M,C)自对偶Yang-Mills方程与Calogero方程在内的多维S-可积系统，可从一个通过特征线法求解的新多维矩阵方程导出。
• 通过广义块Frobenius约化构造具有S-与C-可积方程混合可积特征的新PDE。
• 阐明S-可积系统解空间与通过Sato理论生成的解空间之间的关系，尤其在KP情形下。

提出的方法

• 对(1+1)维矩阵Bürgers族的矩阵场应用块Frobenius矩阵约化，将其分解为构成可积矩阵方程链的块。
• 对Frobenius矩阵的块执行系统性消去程序，推导出(2+1)维演化PDE，如KP方程与Davey-Stewartson方程。
• 利用所导出的S-可积系统的Lax对特征函数，重构其渐近展开式的系数，结果与矩阵Bürgers族中可积链的元素完全匹配。
• 利用矩阵Bürgers族及其约化所采用的程序，构造出结果(2+1)维系统的Lax对与解空间。
• 将Frobenius约化推广至更高维情形，从特征线法出发导出新的S-可积系统，包括多维Calogero方程与自对偶Yang-Mills方程。
• 通过验证约束条件(255)与(256)与主演化方程(251)–(252)的一致性，分析所导出系统的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可从C-可积的矩阵Bürgers族出发，通过块Frobenius约化与矩阵块消去，生成(2+1)维S-可积PDE的可积性特征（如Lax对与无穷多对易对称性）？
• RQ2 S-可积系统的解空间与通过Sato理论生成的解空间之间存在何种关系，尤其在KP情形下？
• RQ3 是否可从单一Ch-可积矩阵方程出发，通过矩阵约化导出包括GL(M,C)自对偶Yang-Mills方程与Calogero方程在内的多维S-可积系统？
• RQ4 在何种条件下，PDE会表现出S-与C-可积方程的混合可积特征？
• RQ5 是否存在一种系统性方法，可将Frobenius约化推广至更高维，利用群论工具构造新的可积系统？

主要发现

• 通过块Frobenius约化与矩阵块消去，(2+1)维S-可积PDE的可积性特征，包括Lax对与无穷多对易对称性，均源自矩阵Bürgers族。
• S-可积系统解析解的构造与Sato理论中的解生成机制密切相关，在KP情形下，两种解空间完全重合。
• (2+1)维N-波方程、KP方程与Davey-Stewartson方程均为矩阵Bürgers族的约化形式，其Lax对与解结构均源自C-可积种子方程。
• 一个新多维矩阵方程通过特征线法求解，可生成包括GL(M,C)自对偶Yang-Mills方程与多维Calogero方程在内的可积系统，其S-可积性通过所导出的Lax对得到证实。
• 广义块Frobenius约化产生具有S-与C-可积方程混合可积特征的PDE，例如系统(251)–(252)，在特定消去条件下可约化为S-可积的N-波方程或C-可积的N-波型方程。
• 所导出的(2+1)维系统（包括KP与DS方程）被证明具有相容的线性算子，其解空间由矩阵Bürgers族的特征函数构造而成。