[论文解读] On the representation dimension of artin algebras

Claus Michael Ringel|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用 34

一句话总结

该论文证明了 $ n $ 个二部quiver的路径代数的张量积的表示维数恰好为 $ n+2 $，并证明了任意挠无余有限的artin代数的表示维数至多为3。该结果通过分析生成元-余生成元的自同态环，并利用表示维数与张量积的相容性得以实现，从而扩展了已知的上界，并构造了具有高表示维数的显式例子。

ABSTRACT

The representation dimension of an artin algebra as introduced by M.Auslander in his Queen Mary Notes is the minimal possible global dimension of the endomorphism ring of a generator-cogenerator. The paper is based on two texts written in 2008 in connection with a workshop at Bielefeld. The first part presents a full proof that any torsionless-finite artin algebra has representation dimension at most 3, and provides a long list of classes of algebras which are torsionless-finite. In the second part we show that the representation dimension is adjusted very well to forming tensor products of algebras. In this way one obtains a wealth of examples of artin algebras with large representation dimension. In particular, we show: The tensor product of n representation-infinite path algebras of bipartite quivers has representation dimension precisely n+2.

研究动机与目标

• 确定二部quiver路径代数张量积的精确表示维数。
• 建立所有挠无余有限artin代数的表示维数至多为3。
• 证明表示维数在张量积下表现良好，从而可构造出具有大表示维数的代数。
• 提供一个使用挠无余模和Auslander生成元证明有界表示维数的一般框架。
• 解决artin代数表示维数的有限性及上界问题的开放疑问。

提出的方法

• 通过Auslander生成元的刻画以及挠无余模与可除模之间的一一对应关系，证明任意挠无余有限artin代数的表示维数至多为3。
• 应用挠无余模的商范畴（模掉投射模）与对应于对偶代数的范畴之间的对偶性。
• 利用双重投射模的系数quiver是连通的这一事实，确保任何保持根基元素的自同态必为数量乘法。
• 应用与张量积相容的格子准则以获得表示维数的下界，从而建立精确的界限。
• 通过二部quiver路径代数的张量积构造显式例子，并利用同调条件及系数quiver中映射的正则性，验证表示维数恰好为 $ n+2 $。
• 利用Oppermann与Xi关于次可加性与下界的结果，推导出张量积的精确值。

实验结果

研究问题

• RQ1 $ n $ 个表示无限的二部quiver路径代数的张量积的精确表示维数是什么？
• RQ2 表示维数是否可能超过3，若可能，其条件是什么？
• RQ3 每个artin代数是否都有有限的表示维数，且对某些类能否实现统一的上界？
• RQ4 表示维数在代数张量积下如何表现？
• RQ5 能否对通过路径代数张量积构造的代数精确确定其表示维数？

主要发现

• 根据定理9.1与推论9.4，$ n $ 个表示无限的二部quiver路径代数的张量积的表示维数恰好为 $ n+2 $。
• 任意挠无余有限artin代数的表示维数至多为3，该结果推广了对表示有限及其他类代数的已知结果。
• 表示维数与张量积相容：若 $ ext{repdim}( ilde{ ho}) o ext{repdim}( ho) $，则 $ ext{repdim}( ho imes ilde{ ho}) o ext{repdim}( ho) + ext{repdim}( ilde{ ho}) $，从而可构造出具有大表示维数的代数。
• 双重投射模 $ {}_2P(x) $ 的系数quiver是连通的，这确保了任何在根基元素上消失的自同态必为零，这是验证表示维数条件的关键步骤。
• 对于Kronecker代数的特殊情况，两个副本的张量积的表示维数为4，验证了当 $ n=2 $ 时，一般公式 $ n+2 $ 成立。
• 通过覆盖理论将结果推广至一般情形，表明即使quiver具有多个箭头，该上界依然成立。