[论文解读] On the representation of an integrated Gauss-Markov process

Mario Abundo|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2013

Simulation Techniques and Applications参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文将高斯-马尔可夫过程的积分表示为时变布朗运动，从而实现其分布的显式计算，并促进首次通过时间分析。关键结果表明，积分过程 $ Y(T) = \int_0^T X(s)\,ds $ 服从均值为 $ M(T) $、方差为 $ \gamma_1(\rho(T)) $ 的正态分布；当 $ \gamma_1(\infty) = \infty $ 时，其等于 $ M(T) + \widehat{B}(\gamma_1(\rho(T))) $，其中 $ \widehat{B} $ 为标准布朗运动。

ABSTRACT

We find a representation of the integral of a Gauss-Markov process in the interval [0, t], in terms of Brownian motion. Moreover, some connections with first-passagetime problems are discussed, and some examples are reported.

研究动机与目标

• 推导高斯-马尔可夫过程积分的布朗运动表示形式。
• 实现对积分高斯-马尔可夫过程的首次通过时间问题分析。
• 将先前关于积分布朗运动的结果推广至更广泛的高斯-马尔可夫过程类别。
• 为计算神经活动、排队论和经济学等应用中时间平均过程的分布提供框架。

提出的方法

• 使用伊腾公式将积分 $ \int_0^t f(s)B(s)\,ds $ 表示为关于布朗运动的随机积分。
• 应用丹比斯、杜宾-施瓦茨定理，当二次变差发散时，将积分表示为时变布朗运动。
• 将高斯-马尔可夫过程 $ X(t) = m(t) + h_2(t)B(\rho(t)) $ 转化为涉及 $ B(\rho(s)) $ 的积分形式，随后通过 $ \rho^{-1} $ 进行测度变换。
• 推导方差函数 $ \gamma_1(t) = \int_0^t (R_1(t) - R_1(s))^2\,ds $，其中 $ R_1(t) = \int_0^t h_2(\rho^{-1}(s))/\rho'(\rho^{-1}(s))\,ds $。
• 建立积分过程 $ Y(T) $ 作为时变布朗运动分布的条件。
• 通过为逆时变函数确定确定性包络，推导随机二次变差的广义高斯-马尔可夫过程的分布界。

实验结果

研究问题

• RQ1 高斯-马尔可夫过程的积分能否表示为时变布朗运动？
• RQ2 在何种条件下，积分过程 $ Y(T) = \int_0^T X(s)\,ds $ 服从具有已知方差函数的正态分布？
• RQ3 如何将 $ Y(T) $ 的首次通过时间问题转化为标准布朗运动的首次通过时间问题？
• RQ4 高斯-马尔可夫过程的时间平均过程 $ \overline{X}_T = \frac{1}{T} \int_0^T X(s)\,ds $ 的分布是什么？
• RQ5 当过程的二次变差为随机时，如何对积分的分布进行界定？

主要发现

• 高斯-马尔可夫过程 $ X(t) $ 的积分 $ Y(T) = \int_0^T X(s)\,ds $ 服从均值为 $ M(T) = \int_0^T m(s)\,ds $、方差为 $ \gamma_1(\rho(T)) $ 的正态分布，其中 $ \gamma_1(t) = \int_0^t (R_1(t) - R_1(s))^2\,ds $，且 $ R_1(t) = \int_0^t h_2(\rho^{-1}(s))/\rho'(\rho^{-1}(s))\,ds $。
• 当 $ \gamma_1(+\infty) = +\infty $ 时，过程 $ Y(T) $ 可表示为 $ M(T) + \widehat{B}(\gamma_1(\rho(T))) $，其中 $ \widehat{B} $ 为标准布朗运动，从而确立了时变布朗运动的表示形式。
• 对于具有漂移的布朗运动 $ X(t) = \mu t + B(t) $，积分 $ Y(T) $ 的方差为 $ T^3/3 $，且 $ \overline{X}_T \sim \mathcal{N}(0, T/3) $。
• 对于奥恩斯坦-乌伦贝克过程，$ Y(T) $ 的方差为 $ \gamma_1(\rho(T)) = \frac{\sigma^2 T}{\mu^2(\sigma^2 + 2\mu T)} - \frac{2\sigma^2}{\mu^3\sqrt{1 + 2\mu T/\sigma^2}}\left(\sqrt{1 + 2\mu T/\sigma^2} - 1\right) + \frac{\sigma^2}{2\mu^3}\ln\left(1 + 2\mu T/\sigma^2\right) $。
• 对于布朗桥过程，方差 $ \gamma_1(\rho(T)) $ 为 $ \int_0^T \left( \frac{T^3 t (2 + T t)}{2(1 + T t)^2} - \frac{T^3 s (2 + T s)}{2(1 + T s)^2} \right)^2 ds $，且 $ \gamma_1(\infty) = \infty $，因此时变表示成立。
• 对于具有随机二次变差的广义高斯-马尔可夫过程，积分 $ \int_0^T X(s)\,ds $ 服从均值为 $ M(T) $、方差介于 $ \gamma_1(\alpha(T)) $ 与 $ \gamma_1(\beta(T)) $ 之间的正态分布，其中 $ \alpha(t) \leq \rho(t) \leq \beta(t) $。