[论文解读] On the representation of finite distributive lattices

Mark Siggers|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2014

Advanced Algebra and Logic参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文建立了有限链积的子格与由其余积不可约元导出的典范结构的展开偏序扩展之间的一一对应关系，通过偏序的非对称性刻画紧致子格。该研究扩展了经典关于分配格嵌入的结果，将余积不可约元的链分解与嵌入到链积联系起来。

ABSTRACT

A simple but elegant result of Rival states that every sublattice $L$ of a finite distributive lattice $\mathcal{P}$ can be constructed from $\mathcal{P}$ by removing a particular family $\mathcal{I}_L$ of its irreducible intervals. Applying this in the case that $\mathcal{P}$ is a product of a finite set $\mathcal{C}$ of chains, we get a one-to-one correspondence $L \mapsto \mathcal{D}_\mathcal{P}(L)$ between the sublattices of $\mathcal{P}$ and the preorders spanned by a canonical sublattice $\mathcal{C}^\infty$ of $\mathcal{P}$. We then show that $L$ is a tight sublattice of the product of chains $\mathcal{P}$ if and only if $\mathcal{D}_\mathcal{P}(L)$ is asymmetric. This yields a one-to-one correspondence between the tight sublattices of $\mathcal{P}$ and the posets spanned by its poset $J(\mathcal{P})$ of non-zero join-irreducible elements. With this we recover and extend, among other classical results, the correspondence derived from results of Birkhoff and Dilworth, between the tight embeddings of a finite distributive lattice $L$ into products of chains, and the chain decompositions of its poset $J(L)$ of non-zero join-irreducible elements.

研究动机与目标

• 系统刻画有限链积的所有子格，超越紧致嵌入的范畴。
• 推广经典Birkhoff-Dilworth对应关系，将紧致嵌入与余积不可约元的链分解联系起来。
• 为通过链积导出的典范结构的偏序扩展，提供有限分配格表示的系统性框架。
• 在新对应关系框架下，自然导出并扩展Koh关于分配格作为极大反链格的构造方法。

提出的方法

• 利用Rival的结果：有限分配格的子格源于移除不可约区间，将其应用于链积。
• 引入一个典范结构 $\cC^{\infty}$，由在链积格的余积不可约元上添加零元和单位元构成。
• 定义映射 $L \mapsto D_{\cP}(L)$，将 $\cP$ 的每个子格 $L$ 映射到一个扩展 $J(\cP)$ 的偏序 $D_{\cP}(L)$，其中 $D_{\cP}(L)$ 具有自反性和传递性。
• 将紧致子格刻画为满足 $D_{\cP}(L)$ 非对称（即构成偏序集）的子格，并证明此时 $D_{\cP}(L)\restriction_{J(\cP)} \cong J(L)$。
• 引入对偶构造 $K_{\cP}$，将偏序扩展映射到有向图 $A_{\cP}(L)$，该有向图通过极大反链表示子格 $L$。
• 建立子格 $L$ 与无自环、传递的有向图 $A_{\cP}(L)$ 之间的一一对应关系，其中无环性刻画了子直积子格。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地刻画链积 $\cP$ 的所有子格？
• RQ2 子格 $L$ 在链积 $\cP$ 中的结构与从其余积不可约元导出的偏序 $D_{\cP}(L)$ 之间的确切关系是什么？
• RQ3 链积 $\cP$ 的紧致子格如何与 $J(\cP)$ 的偏序扩展对应？它们在更广泛的子格类中具有何种特征？
• RQ4 Koh关于分配格作为极大反链格的构造方法，能否在基于偏序的框架下自然导出？
• RQ5 有向图 $A_{\cP}(L)$ 满足何种条件时，对应的子格为子直积或 $\{\mathbf{0},\boldsymbol{\infty}\}$-子格？

主要发现

• 有限链积 $\cP$ 的子格 $L$ 与 $\cC^{\infty}$（由 $J(\cP)$ 构造并添加零元与单位元形成的典范结构）的展开偏序扩展之间存在一一对应关系。
• 链积 $\cP$ 的紧致子格被刻画为满足 $D_{\cP}(L)$ 非对称（即构成偏序集）的子格，此时 $D_{\cP}(L)\restriction_{J(\cP)} \cong J(L)$。
• 构造 $K_{\cP}$ 将偏序扩展 $D$ 映射到有向图 $A_{\cP}(L)$，使得当 $D$ 具有传递性且 $\cI$ 闭合时，$A_{\cP}(L)$ 也具有传递性。
• 子格 $L$ 为子直积当且仅当 $A_{\cP}(L)$ 无自环，这等价于 $A_{\cP}(L)$ 无环。
• 对任意满足 $\cA_{\rm{m}}(P) \cong L$ 的偏序集 $P$，存在一个子直积嵌入，使得 $L$ 嵌入到 $\cP$ 中，且 $P = A_{\cP}^{r}(L)$，即 $A_{\cP}(L)$ 的自反版本。
• 构造 $K_{\cP}$ 广义化了Koh表示分配格为极大反链格的方法，其关键区别在于，为保持一般性，在有向图表示中保留了环。