[论文解读] On the representation of the number of integral points of an elliptic curve modulo a prime number

Michael Th. Rassias|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用 2

一句话总结

本文提出了一种新颖的解析方法，通过利用伯努利数和黎曼ζ函数导出的有理函数，将模素数 $p$ 的椭圆曲线上整数点的数量表示为指数和。通过将指数和 $e^{-2\pi i f(x)/p}$ 表示为涉及 $S(x)$ 的有理函数，以及包含 $\zeta(n+1)$ 的级数，该方法在曲线上述系数和 $f(x)/p$ 的小数部分满足特定条件时，能够推导出 $N_p$（曲线上点的数量）的显式非指数公式。主要贡献在于提出了一种避免直接计算指数和的 $N_p$ 新表示形式。

ABSTRACT

In this paper we shall investigate the problem of the representation of the number of integral points of an elliptic curve modulo a prime number p. We present a way of expressing an exponential sum which involves polynomials of third degree, in explicit non-exponential terms. In the process, we present explicit formulas for the calculation of some series involving the Riemann Zeta function.

研究动机与目标

• 开发模素数 $p$ 的椭圆曲线上整数点数量的解析表示。
• 将指数和 $\sum_{x,y} e^{2\pi i F(x,y)/p}$ 表示为有理函数而非复指数形式。
• 利用伯努利数和黎曼ζ函数，推导出避免直接计算指数和的 $N_p$ 公式。
• 为有限域上椭圆曲线的点计数提供一种计算上可行的替代 Schoof 算法的方法。

提出的方法

• 利用伯努利数的生成函数，推导 $e^{-2\pi i f(x)/p}$ 的展开式。
• 引入级数 $S(x) = \sum_{n \text{ odd}} \zeta(n+1) \tilde{f}(x)^{n+1} / p^n$，以逼近指数和。
• 将指数和表示为有理函数 $Q(x) + iR(x)$，其中 $Q$ 和 $R$ 是 $S(x)$ 与 $\tilde{f}(x)$ 的有理函数。
• 将 $x$ 的求和分为两部分：$|f(x)/p| < 1$ 和 $|f(x)/p| \geq 1$，利用小数部分 $r(x,p)$。
• 对第二部分，将 $e^{-2\pi i f(x)/p}$ 重写为 $e^{-2\pi i r(x,p)}$，并对 $r(x,p)$ 应用相同的有理逼近。
• 利用黎曼ζ函数的函数方程和伽马函数的性质，建立 $\zeta(-n)$ 与 $\zeta(n+1)$ 的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将指数和 $\sum_{x,y} e^{2\pi i (y^2 - x^3 - ax - b)/p}$ 表示为有理函数而非复指数形式？
• RQ2 是否存在一种方法，可在不计算 $x,y$ 全部求和的情况下，表示有限域 $\mathbb{F}_p$ 上椭圆曲线的点数 $N_p$？
• RQ3 小数部分 $\{f(x)/p\}$ 在指数和结构中起什么作用？
• RQ4 对于 $|f(x)| < p$，能否利用包含 $\zeta(n+1)$ 的级数 $S(x)$ 高精度逼近 $e^{-2\pi i f(x)/p}$？
• RQ5 如何使 $N_p$ 的表示形式在 $p$ 较大时具有计算可行性？

主要发现

• 本文推导出 $N_p$ 的新公式：$N_p = 1 + \frac{1}{p} \sum_{m=0}^{p-1} \sum_{y=0}^{p-1} e^{2\pi i m y^2 / p} \left( \sum_{x=0}^L (Q(x) + iR(x))^m + \sum_{x=L+1}^{p-1} (Q_1(x) + iR_1(x))^m \right)$，其中 $Q$ 和 $R$ 是 $S(x)$ 与 $\tilde{f}(x)$ 的有理函数。
• 级数 $S(x) = \sum_{n \text{ odd}} \zeta(n+1) \tilde{f}(x)^{n+1} / p^n$ 绝对收敛，并能良好逼近指数和。
• 函数 $W(r) = \sum_{n \text{ odd}} \zeta(n+1) r^{n+1}$ 以闭式表达为 $W(r) = \frac{1}{2} r \left( \frac{2r}{1 - r^2} + (r - 1)A_2(r) + (r + 1)B_2(r) \right)$，其中 $A_2(r)$ 和 $B_2(r)$ 是包含调和型项的级数。
• 本文证明了 $\sum_{x=0}^{p-1} Q(x) = 0$ 且 $\sum_{x=0}^{p-1} R(x) = 0$，由此导出恒等式 $p = \sum_{x=0}^{p-1} \frac{2\pi^2 x^2}{(p - 2S(x))^2 + (\pi x)^2}$。
• 建立了小数部分 $\{f(x)/p\}$ 的下界：$\{f(x)/p\} \geq \frac{f(x)}{p} - \frac{1}{p} \left( \sum_{m=0}^{\lfloor p/2 \rfloor} \min(p/m, f(x)) + \sum_{m=\lfloor p/2 \rfloor + 1}^{p-1} \min(1/(1 - m/p), f(x)) \right)$。
• 该方法提供了一种无需计算完整指数和即可计算 $N_p$ 的途径，通过使用基于 $S(x)$ 和 $W(r)$ 的有理函数逼近来替代指数和。