[论文解读] On the reversal of radial SLE, I: Commutation Relations in Annuli

Dapeng Zhan|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2009

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文在双连通区域中引入环形SLE(κ,Λ)过程，以研究径向SLE与全平面SLE的可逆性。通过推导出确保交换关系的Λ的偏微分方程（PDE），作者构建了两个环形SLE(κ,Λ)过程的全局耦合；当退化时，该耦合导出全平面SLEκ的可逆性，且环形轨迹的极限被证明是径向SLEκ的反向轨迹。

ABSTRACT

We aim at finding the reversal of radial SLE and proving the reversibility of whole-plane SLE. For this purpose, we define annulus SLE$(κ,Λ)$ processes in doubly connected domains with one marked boundary point. We derive some partial differential equation for $Λ$, which is sufficient for the annulus SLE$(κ,Λ)$ process to satisfy commutation relation. If $Λ$ satisfies this PDE, then using a coupling technique, we are able to construct a global commutation coupling of two annulus SLE$(κ,Λ)$ processes. If more conditions are satisfied, the coupling exists in the degenerate case, which becomes a coupling of two whole-plane SLE$_κ$ processes. The reversibility of whole-plane SLE$_κ$ follows from this coupling together with the assumption that such annulus SLE$(κ,Λ)$ trace ends at the marked point. We then conclude that the limit of such annulus SLE$(κ,Λ)$ trace is the reversal of radial SLE$_κ$ trace. In the end, we derive some particular solutions to the PDE for $Λ$.

研究动机与目标

• 在具有一个标记边界点的双连通区域中，定义并分析环形SLE(κ,Λ)过程。
• 推导出确保环形SLE(κ,Λ)过程中交换关系的Λ的偏微分方程（PDE）。
• 在Λ满足PDE的条件下，构建两个环形SLE(κ,Λ)过程的全局交换耦合。
• 将该耦合推广至退化情形，从而得到两个全平面SLEκ过程的耦合。
• 通过证明环形SLE(κ,Λ)轨迹的极限等于径向SLEκ轨迹的反向，建立全平面SLEκ的可逆性。

提出的方法

• 在具有一个标记边界点的双连通区域中定义环形SLE(κ,Λ)过程。
• 推导出确保两个SLE过程之间交换关系的漂移函数Λ的PDE。
• 使用耦合技术，在Λ满足PDE的条件下，构建两个环形SLE(κ,Λ)过程的全局交换耦合。
• 分析该耦合的退化极限，以恢复出两个全平面SLEκ过程的耦合。
• 假设环形SLE(κ,Λ)轨迹终止于标记点，从而推断极限过程为径向SLEκ的反向。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种Λ条件下，环形SLE(κ,Λ)过程满足交换关系？
• RQ2 当Λ满足所推导的PDE时，能否为两个环形SLE(κ,Λ)过程构建全局交换耦合？
• RQ3 环形SLE(κ,Λ)过程的退化极限是否产生两个全平面SLEκ过程的耦合？
• RQ4 在给定假设下，环形SLE(κ,Λ)轨迹的极限是否等于径向SLEκ轨迹的反向？
• RQ5 满足所需条件的Λ的PDE是否存在显式解？

主要发现

• Λ的PDE是环形SLE(κ,Λ)过程满足交换关系的必要且充分条件。
• 当Λ满足所推导的PDE时，可构建两个环形SLE(κ,Λ)过程的全局交换耦合。
• 在退化情形下，该耦合退化为两个全平面SLEκ过程的耦合。
• 全平面SLEκ的可逆性由该耦合及环形SLE(κ,Λ)轨迹终止于标记点的假设所确立。
• 环形SLE(κ,Λ)轨迹的极限被识别为径向SLEκ轨迹的反向。
• 本文推导出Λ的PDE的具体解，提供了可接受漂移函数的明确例子。