[论文解读] On the Riemann-Hardy hypothesis for the Ramanujan zeta function

Xiao‐Jun Yang|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2018

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一句话总结

本文通过分析 Ramanujan-De Bruijn 函数的积分表示、级数与乘积展开以及 Hadamard 的因式分解定理，证明了 Ramanujan zeta 函数的 Riemann-Hardy 猜想。研究确认，Ramanujan zeta 函数的所有非平凡零点均位于临界线 ℜ(x) = 6 上，从而证实了 Hardy 在 1940 年提出的猜想。

ABSTRACT

The Ramanujan zeta function was in $1916$ proposed by an Indian mathematician Srinivasa Ramanujan. As an analogue of the Riemann hypothesis, an English mathematician Godfrey Harold Hardy proposed in $1940$ that the real part of all complex zeros of the Ramanujan zeta function is $6$. This is the well-known Riemann-Hardy hypothesis for the Ramanujan zeta function. This article is devoted to the proof of this hypothesis derived from the Ramanujan-Rankin function. Owing to the integral representation of the Ramanujan-De Bruijn function, we establish its series. We also reduce its product using the Hadamard's factorization theorem. By a class with its series and product representations, we conclude that the real part of all zeros for Ramanujan-De Bruijn function is zero. we also obtain its products of Conrey and Ghosh and Hadamard-type for the Ramanujan-Rankin function. Based on the obtained result, we prove that the Riemann-Hardy hypothesis is true.

研究动机与目标

• 证明 Riemann-Hardy 猜想，即 Ramanujan zeta 函数的所有非平凡零点均位于临界线 ℜ(x) = 6 上。
• 将 Ramanujan-De Bruijn 函数 X(z) 作为研究 Ramanujan zeta 函数零点分布的关键工具进行分析。
• 建立 Ramanujan-Rankin 函数 ξτ(x) 的级数与乘积表示的收敛性与对称性性质。
• 应用 Hadamard 的因式分解定理，推导 Ramanujan-De Bruijn 函数的规范乘积形式，并推断零点位置。
• 验证函数方程 ξτ(x) = ξτ(12−x)，并利用对称性与解析延拓阐明其对零点位置的含义。

提出的方法

• 通过模形式 L(ω) 的 Mellin 变换，推导 Ramanujan-De Bruijn 函数 X(z) 的积分表示。
• 应用函数方程 ξτ(x) = ξτ(12−x)，定义 Ramanujan-Wilton 函数 Λ(φ) = ξτ(6+iφ)，其在 φ 上为偶函数。
• 利用 Ramanujan-Rankin 函数 ξτ(x) = (2π)−xΓ(x)Hτ(x)，将 zeta 函数与 Gamma 函数及模形式联系起来。
• 应用 Hadamard 的因式分解定理，将 ξτ(x) 表示为关于其零点的无穷乘积，从而得到规范乘积形式。
• 将 X(z) 的零点集转化为纯虚零点 z_m = iγ_m，意味着 ℜ(z_m) = 0，并将其映射回 x = 6 + iγ_m。
• 利用 Knopp 专著中的收敛性定理，验证函数的乘积与级数表示的绝对收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Ramanujan zeta 函数 Hτ(x) 的所有非平凡零点是否如 Hardy 所猜想的那样位于临界线 ℜ(x) = 6 上？
• RQ2 Ramanujan-De Bruijn 函数 X(z) 是否能表示为在虚轴上具有零点的收敛无穷乘积？
• RQ3 ξτ(x) 的函数方程与其零点对称性之间存在何种关系？
• RQ4 Ramanujan-Rankin 函数的级数与乘积表示如何支持其零点位置的确定？
• RQ5 能否利用经典复分析工具严格建立乘积与级数表示的收敛性？

主要发现

• Ramanujan zeta 函数 Hτ(x) 的所有非平凡零点均位于临界线 ℜ(x) = 6 上，从而证实了 Riemann-Hardy 猜想。
• Ramanujan-De Bruijn 函数 X(z) 的零点为纯虚数，即 z_m = iγ_m 且 γ_m > 0，意味着 ℜ(z_m) = 0。
• X(z) 的规范乘积表示为 X(z) = X(0) ∏_{m=1}^∞ (1 + z²/γ_m²)，该表示绝对收敛。
• Ramanujan-Wilton 函数 Λ(φ) = X(iφ) 为偶函数，且可表示为 Λ(φ) = Λ(0) ∏_{m=1}^∞ (1 − φ²/γ_m²)。
• ξτ(x) 的零点位于 x_m = 6 ± iγ_m 处，证实其实部恰好为 6。
• 已建立 ∑ |z_m|⁻² 与 ∑ |Im(z_m)|⁻² 的收敛性，这通过 Knopp 的定理支持了无穷乘积因式分解的有效性。