[论文解读] On the RLWE/PLWE equivalence for cyclotomic number fields

Iván Blanco Chacón|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2020

Cryptography and Data Security参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文在分圆数域中建立了环学习错误（RLWE）与多项式学习错误（PLWE）问题之间的等价性，表明当导子的互异素因子个数为常数时，两个问题通过多项式噪声增长实现等价。关键贡献在于对与分圆多项式相关的范德蒙德矩阵条件数给出了一个通用的渐近次指数上界，该结果表明在这些域中，RLWE与PLWE在多项式噪声增长下仍保持等价。

ABSTRACT

We study the equivalence between the Ring Learning With Errors and Polynomial Learning With Errors problems for cyclotomic number fields,namely: we prove that both problems are equivalent via a polynomial noise increase as long as the number of distinct primes dividing the conductor is kept constant. We refine our bound in the case where the conductor is divisible by at most three primes and we give an asymptotic subexponential formula for the condition number of the attached Vandermonde matrix valid for arbitrary degree.

研究动机与目标

• 在导子的互异素因子个数固定的条件下，建立分圆数域中RLWE与PLWE问题之间的等价性。
• 针对导子中素因子个数不超过三个的域，细化与分圆多项式相关的范德蒙德矩阵条件数的界。
• 利用分圆多项式系数的已知估计，推导出任意分圆域中范德蒙德矩阵条件数的渐近次指数上界。
• 证明一般情况下的RLWE/PLWE等价性可约化为平方自由情况，其度数的平方因子影响下，仅导子的根部影响噪声增长。
• 通过量化分圆域中标准嵌入与坐标嵌入之间的畸变，强化基于多项式环模型的后量子密码学理论基础。

提出的方法

• 使用代数数论分析分圆数域的整数环与模分圆多项式多项式环之间的同构关系。
• 应用韦达定理分析分圆多项式系数与其根的关系，从而精确控制范德蒙德矩阵的范数。
• 采用除数函数的算术估计及分圆多项式最大系数的界，特别利用巴特曼（Bateman）对最大系数 $ A(n) $ 的渐近界。
• 应用Bang（2001）与Bloom（1997）的结果，细化导子可被至多三个素数整除的域中条件数的界。
• 通过在单位根处求分圆多项式导数的逆，推导出范德蒙德矩阵 $ V_{ ilde{ ho}} $ 的一般上界。
• 将最大系数 $ A(n) $ 的界与素因子函数 $ ho(n) = ext{rad}(n) $ 结合，推导出条件数的次指数渐近估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，分圆数域中的RLWE问题与PLWE问题等价？
• RQ2 与分圆多项式相关的范德蒙德矩阵的条件数如何随域的次数增长？
• RQ3 RLWE/PLWE等价性能否推广至非2的幂次的分圆域？此类情况下的噪声增长因子是多少？
• RQ4 分圆多项式最大系数的渐近增长速率如何？其对相关范德蒙德矩阵条件数有何影响？
• RQ5 在噪声增长的视角下，一般情况的RLWE/PLWE等价性在多大程度上可约化为平方自由情况？

主要发现

• 当导子的互异素因子个数有界时，分圆数域中的RLWE与PLWE在多项式噪声增长下保持等价。
• 当导子可被至多三个不同素数整除时，范德蒙德矩阵的条件数被界于 $ 2m^4 $ 之内，其中 $ m $ 为分圆多项式系数的绝对值最大值。
• 对于一般 $ n $，条件数 $ ext{Cond}(V_{ ilde{ ho}}) $ 被界于 $ ext{O}(n^{n^{rac{1}{ ext{log log } n}} + rac{ ext{log } n}{ ext{log log } n} + 3} e^{n^{rac{1}{ ext{log log } n}}}) $，表明其为次指数增长。
• 分圆多项式 $ ilde{ ho}_n $ 的最大系数 $ A(n) $ 满足 $ A(n) o e^{n^{(1+ ho) ext{log }2/ ext{log log }n}} $，对任意 $ \rho > 0 $，该性质支撑了次指数界。
• 一般情况的RLWE/PLWE等价性可约化为平方自由情况，其度数的平方因子影响下，仅 $ n $ 的根部影响噪声增长。
• 当素因子个数为常数时，条件数的界为次数的多项式，证实RLWE与PLWE在多项式噪声增长下在这些设定中仍保持等价。