[论文解读] On the Robust superhedging of measurable claims

Dylan Possamaï, Guillaume Royer+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用 9

一句话总结

本文在一类广义的非支配概率测度下，为可测头寸的超对冲建立了稳健的对偶结果，扩展了先前的工作，通过弱化可积性和可测性条件。它引入了一个基于解析性和分叉稳定性的新框架，使该方法可应用于局部鞅最优传输和具有统一可积局部鞅约束的稳健金融领域。

ABSTRACT

The problem of robust hedging requires to solve the problem of superhedging under a nondominated family of singular measures. Recent progress was achieved by [9,11]. We show that the dual formulation of this problem is valid in a context suitable for martingale optimal transportation or, more generally, for optimal transportation under controlled stochastic dynamics.

研究动机与目标

• 将稳健超对冲的对偶框架扩展至在较弱可积性和可测性条件下的一般可测头寸。
• 解决先前结果（特别是 Neufeld 和 Nutz [9]）在统一可积局部鞅测度设定下的局限性。
• 为允许静态和动态交易的局部鞅最优传输问题提供对偶结果的推广。
• 在上半解析头寸的准必然条件下，建立超对冲策略的存在性。
• 提出一个新条件（条件 5.1），在保持对偶结果有效性的同时，推广先前的假设。

提出的方法

• 引入一类新的概率测度类 $\mathcal{P}$，其在分叉下稳定，并满足解析性和可测性条件。
• 采用 $\mathcal{P}$-准必然（q.s.）性质的概念，以在奇异测度族上定义超对冲。
• 利用渐进可测性和局部化技术，定义可接受交易策略集 $\mathcal{H}^\xi(\mathcal{P})$。
• 通过从可测核 $\nu^n$ 构造的 $\widetilde{\mathbb{P}}^n$ 应用核逼近方法，以确保依分布收敛。
• 依赖于通用过滤 $\mathbb{F}^*$ 和自然过程 $B$，在准必然条件下路径式地定义随机积分。
• 通过利用解析集和可测核的极限论证建立对偶性，推广了 Neufeld 和 Nutz [9] 的方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 稳健超对冲的对偶结果能否在较弱的可积性和可测性条件下，推广至可测头寸？
• RQ2 当测度族被限制为使自然过程是统一可积局部鞅的测度时，对偶框架是否仍然有效？
• RQ3 Neufeld 和 Nutz [9] 的条件能否在保持对偶性和超对冲策略存在性的同时被弱化？
• RQ4 是否存在一个关于测度族的一般条件，使得对偶结果在原始假设之外依然有效？
• RQ5 在允许静态和动态交易的局部鞅最优传输背景下，如何表述超对冲问题？

主要发现

• 稳健超对冲价格 $V(\xi)$ 等于所有 $\mathbb{P} \in \mathcal{P}$ 上 $\mathbb{E}^\mathbb{P}[\xi]$ 的上确界，建立了原问题与对偶问题之间的对偶关系。
• 对偶结果在条件 5.1 下成立，该条件严格弱于条件 3.1，并包含测度族 $\mathcal{P}_m$ 和 $\mathcal{P}_b$。
• 超对冲策略的存在性得到保证：存在 $H \in \mathcal{H}^\xi(\mathcal{P})$，使得 $X_0 + \int_0^T H_s dB_s \geq \xi$ $\mathcal{P}^\xi$-准必然成立。
• $\mathcal{P}_b$ 测度族（在该族下自然过程是统一可积局部鞅）满足条件 5.1，使其可应用于局部鞅最优传输。
• 通过核逼近和可测选择的证明技术，确保了依分布收敛，并在新测度族下保持了准必然性质。
• 该结果将 Neufeld 和 Nutz [9] 的先前工作推广至其可积性和可测性条件不成立的设定，特别是在局部鞅最优传输背景下。