[论文解读] On the Robustness of Data-Driven Controllers for Linear Systems

Rajasekhar Anguluri, Abed AlRahman Al Makdah+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2019

Fault Detection and Control Systems参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文提出了一种概率框架，用于量化在训练数据存在随机扰动时，数据驱动状态反馈控制器对线性系统的鲁棒性。通过利用数据驱动控制器设计映射的一阶近似，推导出谱半径超过一的概率的紧致上界和下界，从而实现依赖于扰动统计特性、数据量、算法敏感性以及名义系统特性的稳定性保证。

ABSTRACT

This paper proposes a new framework and several results to quantify the performance of data-driven state-feedback controllers for linear systems against targeted perturbations of the training data. We focus on the case where subsets of the training data are randomly corrupted by an adversary, and derive lower and upper bounds for the stability of the closed-loop system with compromised controller as a function of the perturbation statistics, size of the training data, sensitivity of the data-driven algorithm to perturbation of the training data, and properties of the nominal closed-loop system. Our stability and convergence bounds are probabilistic in nature, and rely on a first-order approximation of the data-driven procedure that designs the state-feedback controller, which can be computed directly using the training data. We illustrate our findings via multiple numerical studies.

研究动机与目标

• 解决在对抗性或随机训练数据污染下数据驱动控制缺乏鲁棒性保证的问题。
• 量化训练数据中目标性扰动对采用数据驱动控制器的闭环系统稳定性的影响。
• 开发一个将控制器鲁棒性与扰动统计特性、数据量、算法敏感性以及名义系统谱特性相联系的框架。
• 提供计算上可行且直接基于训练数据的不稳定性概率的概率边界。
• 实现基于数据扰动敏感性的不同数据驱动控制算法的比较分析。

提出的方法

• 将数据驱动控制器设计建模为从训练数据到控制器增益矩阵的Fréchet可微映射。
• 使用控制器映射的一阶泰勒展开来近似其对输入数据扰动的敏感性。
• 利用控制器映射的雅可比矩阵，推导出在数据扰动下闭环系统谱半径的概率边界。
• 使用类似于自动微分的技术，从训练数据数值计算雅可比矩阵 $ J_X $。
• 应用集中不等式（例如高斯尾部界）推导出不稳定性概率的上界和下界。
• 通过在带有受控数据污染的车辆动力学模型上进行蒙特卡洛仿真，验证该框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 在训练数据中扰动的方差和稀疏性变化时，数据驱动控制器的不稳定性概率如何变化？
• RQ2 控制器鲁棒性如何依赖于训练数据集的大小以及数据驱动算法的敏感性？
• RQ3 名义闭环系统的谱特性如何影响扰动系统稳定性？
• RQ4 控制器设计映射的一阶近似能否产生紧致且有意义的不稳定性概率边界？
• RQ5 不同数据驱动控制算法对数据扰动的敏感性如何影响其在实际中的鲁棒性？

主要发现

• 随着扰动方差减小，不稳定性概率的上界减小，并在方差足够小时收敛于零。
• 随着扰动方差增大，不稳定性概率的下界增加，并在方差增大时趋近于1，表明最坏情况下的不稳定性可能性。
• 衡量算法敏感性的雅可比范数 $ J_{\text{max}} $ 随着训练数据维度的增加而减小，表明数据集越大，鲁棒性越强。
• 不稳定性概率随被污染数据点数量增加而上升的速率与系统维度无关，这是可扩展性的一个关键洞察。
• 理论边界在不同扰动方差下紧密捕捉了蒙特卡洛估计的不稳定性概率，验证了该框架的准确性。
• 对于高维系统，上界变得松散，表明未来工作需要更紧致的解析边界。