[论文解读] On the robustness of random k-cores

Cristiane M. Sato|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2012

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

该论文通过研究删除一条随机边对k-core结构的影响，分析了随机k-core的鲁棒性。结果表明，当平均度c接近k时，k-core在删除一条边后通常会完全崩溃；而当c高于临界阈值c′时，k-core在高概率下保持基本完整，几乎保留所有顶点。研究结果通过耦合技术、随机游走以及随机多重图和简单图中度序列的微分方程方法推导得出。

ABSTRACT

The k-core of a graph is its maximal subgraph with minimum degree at least k. In this paper, we address robustness questions about k-cores. Given a k-core, remove one edge uniformly at random and find its new k-core. We are interested in how many vertices are deleted from the original k-core to find the new one. This can be seem as a measure of robustness of the original k-core. We prove that, if the initial k-core is chosen uniformly at random from the k-cores with n vertices and m edges, its robustness depends essentially on its average degree c. We prove that, if c converges to k, then the new k-core is empty with probability 1+o(1). We define a constant c(k)' such that when k+epsilon < c < c(k)'- epsilon, the new k-core is empty with probability bounded away from zero and, if c > c(k)'+ psi with psi = omega(n^{-1/4}), psi(n) > 0 and c is bounded, then the probability that the new k-core has less than n-h(n) vertices goes to zero, for every h(n) = omega(1/psi).

研究动机与目标

• 理解在随机图中删除一条随机边后k-core结构的鲁棒性。
• 基于平均度c确定k-core鲁棒性的阈值行为。
• 根据c描述k-core完全崩溃或保留的概率特征。
• 通过耦合技术将多重图中的结果推广到简单图。
• 建立一个临界阈值c′，用以区分k-core的脆弱与鲁棒行为。

提出的方法

• 使用随机删除算法，通过迭代删除度小于k的顶点来计算k-core。
• 将删除过程与随机游走进行耦合，以分析被删除的顶点数量。
• 应用微分方程方法，对删除过程中顶点度数的演化进行建模。
• 使用多重图的度序列模型，并通过概率耦合证明其与简单图的等价性。
• 将c′定义为μk,ck和累积分布函数fk(μ)的函数，将其与k-core稳定性的相变联系起来。
• 利用[12]中关于随机图模型的结果，对边包含概率和图可实现性进行概率边界估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 删除一条随机边后，k-core完全消失的概率是多少？
• RQ2 随机k-core的平均度c在多大程度上影响其对边删除的鲁棒性？
• RQ3 是否存在一个临界阈值c′，使得当c > c′时，k-core在边删除后仍保持较大规模，而当c < c′时，其崩溃的概率为正？
• RQ4 当c从上方趋近于k时，行为如何变化？
• RQ5 能否通过耦合方法，从多重图模型推断简单k-core的鲁棒性？

主要发现

• 若c → k，则新k-core为空的概率为1 + o(1)，表明其具有极端脆弱性。
• 当k + ε < c < c′ − ε且ε > 0时，新k-core为空的概率与零保持正距离。
• 若c > c′ + ψ(n)，其中ψ(n) = ω(n−1/4)且ψ(n) > 0，则以高概率新k-core至少保留n − h(n)个顶点，其中h(n) = ω(ψ(n)−1)。
• 当c → k时，删除过程以概率趋近于1删除Θ(n)个顶点，且k-core以高概率完全崩溃。
• 当c ≤ c′ − ε时，删除算法以高概率删除Θ(n)个顶点或至多h(n)个顶点，且删除所有顶点的概率与零保持正距离。
• 多重图与简单图删除过程之间的耦合确保了多重图结果可推广至简单图，适用于t(n) = o(1/ξ(n))步，其中ξ(n) = o(1)。