[论文解读] On the role of numerical dissipation in stabilising under-resolved turbulent simulations using discontinuous Galerkin methods

Juan Manzanero, Esteban Ferrer+2 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 40被引用 11

一句话总结

本文提出了一种新型的不连续伽辽金-谱消失黏性（DG-SVV）方法，该方法结合了低耗散型黎曼求解器与基于Smagorinsky的SVV模型，以稳定欠分辨率湍流模拟。通过在波数空间中针对性地控制数值耗散，该方法在湍流状态下实现了准确的层流行为和全波数范围内的充分耗散。

ABSTRACT

We analyse numerical errors (dissipation and dispersion) introduced by the discretisation of inviscid and viscous terms in energy stable discontinuous Galerkin methods. First, we analyse these methods using a linear von Neumann analysis (for a linear advection-diffusion equation) to characterise their properties in wave-number space. Second, we validate these observations using the 3D Taylor-Green Vortex Navier-Stokes problem to assess transitional/turbulent flows. We show that the dissipation introduced by upwind Riemann solvers affects primarily high wave-numbers. This dissipation may be increased, through a penalty parameter, until a critical value. However, further augmentation of this parameter leads to a decrease of dissipation, reaching zero for very large values. Regarding the dissipation introduced by second order derivatives, we show that this dissipa- tion acts at low and medium wave-numbers (lower wave-numbers compared to upwind Riemann solvers). In addition, we analyse the Spectral Vanishing Viscosity (SVV) technique, previously used in continuous discretisations (e.g. Fourier), to find that with an appropriate kernel (which damps selected modes) it is possible to control the amount of dissipation introduced in the low and medium wave-number range. Combining these ideas, we finally propose a DG-SVV approach that uses a Smagorinsky model to compute the numerical viscosity. This DG-SVV approach is tested in an isotropic laminar/turbulent under-resolved scenario. Combining the SVV technique with a low dissipation Riemann solver, we obtain a scheme capable of maintaining low dissipation levels for laminar flows, whilst providing the correct dissipation for all wave-number ranges in turbulent regimes.

研究动机与目标

• 分析并控制能量稳定型不连续伽辽金（DG）方法在欠分辨率湍流模拟中的数值耗散。
• 评估迎风黎曼求解器、黏性项与人工黏性技术在不同波数下的耗散特性。
• 开发一种混合DG-SVV方法，以在层流中实现低耗散，同时在湍流状态下提供充分耗散。
• 利用雷诺数为1600的三维Taylor–Green涡（TGV）问题，对过渡阶段和各向同性衰减阶段进行验证。
• 证明将低耗散黎曼求解器与基于波数选择的SVV相结合，可实现鲁棒且精确的隐式大涡模拟（iLES）

提出的方法

• 对一维线性对流-扩散方程进行冯·诺依曼分析，以在波数空间中表征DG离散化的色散与耗散特性。
• 应用迎风黎曼求解器，使耗散主要集中在高波数范围，其耗散在最优罚参数下达到峰值，并在罚参数极大时逐渐减小直至消失。
• 分析通过BR1格式实现的二阶导数离散化，表明耗散主要出现在低波数和中波数范围，与黎曼求解器的高波数耗散形成互补。
• 将谱消失黏性（SVV）技术与波数选择性核函数结合，以控制低波数和中波数范围的耗散。
• 提出一种DG-SVV格式，利用Smagorinsky模型计算数值黏性系数，实现动态、尺度分辨的耗散。
• 采用雷诺数为1600的三维Taylor–Green涡问题进行验证，时间积分采用三阶段Runge–Kutta格式，CFL数为0.4

实验结果

研究问题

• RQ1 在欠分辨率DG模拟中，迎风黎曼求解器的耗散如何随罚参数在不同波数下变化？
• RQ2 DG方法中黏性通量离散化引入的耗散在波数分布上呈现何种特征？
• RQ3 SVV技术能否被有效适配至DG格式中，以控制低波数和中波数范围的耗散？
• RQ4 将低耗散黎曼求解器与基于Smagorinsky模型的SVV模型相结合，对欠分辨率湍流模拟的精度与稳定性有何影响？
• RQ5 所提出的DG-SVV格式在粗网格模拟中，能在多大程度上保持层流中的低耗散，同时为湍流能量级串提供足够的耗散？

主要发现

• 迎风黎曼求解器的耗散随罚参数增加而上升，直至达到临界值后开始下降，当罚参数极大时耗散最终消失。
• 通过BR1格式实现的黏性项离散化主要在低波数和中波数范围引入耗散，与黎曼求解器在高波数范围的主导耗散特性截然不同。
• 当正确引入核函数后，SVV技术可实现对低波数和中波数范围的靶向耗散控制，有效稳定欠分辨率模拟。
• 所提出的基于Smagorinsky模型的DG-SVV格式，成功在层流中保持了低数值耗散，同时在湍流状态下为全波数范围提供了充分耗散。
• 通过雷诺数为1600的三维Taylor–Green涡问题进行数值验证，结果表明DG-SVV方法能准确捕捉动能衰减与涡度演化，且数值引入的耗散系数μ ≈ ε/(2ζ)与预期物理解释一致。
• 低耗散黎曼求解器与波数选择性SVV的结合，相较于标准iLES方法，在各向同性欠分辨率湍流模拟中展现出更优的精度与鲁棒性。