[论文解读] On the role of relaxation and acceleration in the non-overlapping Schwarz alternating method for coupling

Giulia Sambataro, Irina Tezaur|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2026

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 0

一句话总结

本文分析放松、Aitken 加速和 Anderson 加速如何影响基于 DD 的耦合的非重叠 Dirichlet–Neumann Schwarz 方法，提出自适应 Anderson 变体，给出 1D 收敛理论，并在多域测试中对比方法。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the influence of relaxation and acceleration techniques on the convergence behavior of the non-overlapping Schwarz algorithm with alternating Dirichlet-Neumann transmission conditions in the context of domain decomposition- (DD-) based coupling. After demonstrating that the multiplicative Schwarz scheme can be formulated as a fixed-point iteration, we explore, both theoretically and numerically, two promising techniques for speeding up the method: (i) Aitken acceleration and (ii) Anderson acceleration. In the process, we derive a robust and efficient adaptive variant of Anderson acceleration, termed "Anderson with memory adaptation". We compare the proposed acceleration strategies to the well-known classical relaxed Dirichlet-Neumann Schwarz alternating method. Our results suggest that, while Aitken-accelerated Schwarz is the best approach in terms efficiency and robustness when considering two sub-domain DDs, Anderson-accelerated Schwarz is the method of choice in larger multi-domain setting.

研究动机与目标

• 研究放松和加速如何影响非重叠 Schwarz 与 Dirichlet–Neumann 传输的收敛性。
• 将乘法 Schwarz 重写为固定点迭代，以便实现加速技术。
• 开发并验证一种自适应 Anderson 加速变体，以增强鲁棒性与效率。
• 在一维提供理论分析并对两子域至多子域的全面数值比较。
• 比较放松 Schwarz、带 Aitken 加速的 Schwarz 与 Anderson 加速的 Schwarz，与经典放松在不同子域数下的表现对比。

提出的方法

• 将 Dirichlet–Neumann Schwarz 算法表述为使用 Dirichlet-to-Neumann 与 Neumann-to-Dirichlet 映射的固定点迭代。
• 应用带动态松弛参数的 Aitken 加速，包括对前一迭代结果的新颖记忆以及界定 rho 的安全机制（算法3）。
• 引入针对非重叠 Schwarz 的 Anderson 加速，并给出记忆自适应变体（Anderson with memory adaptation）和固定点残量最小化（算法4）。
• 定义并分析一种称为“带记忆自适应的 Anderson” 的自适应变体，以提高鲁棒性和效率。
• 给出对 Aitken 加速 Schwarz 方法的 1D 收敛性理论分析（定理1），并讨论与 Anderson 加速的联系。
• 在最多五个子域的问题上进行数值实验，以比较所提方法与经典放松之间的差异。

(a) Schwarz solutions with classical relaxation and the optimal choice of $\rho$ for iteration $k=1$ (left) and $k=2$ (right)

实验结果

研究问题

• RQ1 放松、Aitken 和 Anderson 加速如何影响非重叠 Dirichlet–Neumann Schwarz 耦合的收敛性？
• RQ2 自适应 Anderson 加速（“带记忆自适应的 Anderson”）是否能提高 DD 耦合的鲁棒性和效率？
• RQ3 当子域数量增加（两域对比多域）时，哪种加速技术最有效？
• RQ4 在简化的一维情形中，Aitken 加速 Schwarz 的理论收敛行为是什么？

主要发现

• Aitken 加速在两子域 DD 问题中在效率和鲁棒性方面优于经典放松。
• 在较大的多域配置中，Anderson 加速具有优势，且在子域更多的设置中表现更好。
• 自适应版本的 Anderson 加速（带记忆自适应的 Anderson）相比标准 Anderson 提供了更好的鲁棒性和效率。
• 非重叠 Schwarz 方法可以表示为固定点迭代，从而使加速技术成为可能。
• 在 1D 情况下，如果未进行松弛的 Schwarz 收敛为线性，则带 Aitken 加速的方案达到二次收敛（定理1）。
• Aitken 与 Anderson 加速具有不同的理论/经验性优点，Aitken 适用于小规模 DD，Anderson 在较大 DD 网络中更为合适。

(b) Aitken-accelerated Schwarz solutions for iterations $k=1$ (left), $k=2$ (middle) and $k=3$ (right)