[论文解读] On the Roman Bondage Number of Graphs on surfaces

Vladimir Samodivkin|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文建立了嵌入在曲面上的图的罗马束缚数 $ b_R(G) $ 的上界，表明对于任意在非负欧拉示性数曲面上2-胞射嵌入的图，有 $ b_R(G) \leq 15 $。结果通过基于度数和拓扑约束（包括平均度数、最大度数、围长和欧拉示性数）推导得出，关键技术包括顶点与边移除分析，以及球面、环面和克莱因瓶等曲面上嵌入图的结构特性。

ABSTRACT

A Roman dominating function on a graph $G$ is a labeling $f : V(G) ightarrow \{0, 1, 2\}$ such that every vertex with label $0$ has a neighbor with label $2$. The Roman domination number, $γ_R(G)$, of $G$ is the minimum of $Σ_{v\in V (G)} f(v)$ over such functions. The Roman bondage number $b_R(G)$ is the cardinality of a smallest set of edges whose removal from $G$ results in a graph with Roman domination number not equal to $γ_R(G)$. In this paper we obtain upper bounds on $b_{R}(G)$ in terms of (a) the average degree and maximum degree, and (b) Euler characteristic, girth and maximum degree. We also show that the Roman bondage number of every graph which admits a $2$-cell embedding on a surface with non negative Euler characteristic does not exceed $15$.

研究动机与目标

• 确定嵌入在拓扑曲面上的图的罗马束缚数 $ b_R(G) $ 的上界。
• 分析在特定拓扑嵌入下，边移除对罗马支配数稳定性的影响。
• 通过引入平均度数、最大度数、围长和欧拉示性数等图的结构不变量，扩展现有 $ b_R(G) $ 的界。
• 证明对于所有在非负欧拉示性数曲面上2-胞射可嵌入的图，有 $ b_R(G) \leq 15 $，包括球面、环面、射影平面和克莱因瓶。

提出的方法

• 利用定理 F 识别度数和有界的顶点对，确保 $ d_G(x) + d_G(y) \leq 2ad(G) $，从而控制边移除的影响。
• 应用定理 E 通过长度为2的路径 $ xyz $ 上的度数和来界定 $ b_R(G) $，得到 $ b_R(G) \leq d_G(x) + d_G(y) + d_G(z) - 3 - |N_G(x) \cap N_G(y)| $。
• 运用引理 G 将平均度数与欧拉示性数及围长关联，推导出 $ ad(G) \leq \frac{4k}{k-2}\left(1 - \frac{\chi}{n}\right) $，其中图的围长为 $ k $。
• 利用定理 A 在 $ \delta(G) \geq 5 $ 且曲面欧拉示性数 $ \chi \geq 0 $ 的图中识别低度边对，特别针对 $ \mathbb{S}_0, \mathbb{N}_1, \mathbb{S}_1, \mathbb{N}_2 $。
• 分析顶点度数划分：$ V_{\leq 5} $ 和 $ V_{\geq 6} $，以控制边移除的影响，并构造替代的罗马支配函数。
• 通过设定 $ f(v_i) = 0 $，$ f(u) = 2 $，其余顶点 $ f(v) = g(v) $，在图 $ G $ 上构造一个罗马支配函数 $ f $，以证明 $ \gamma_R(G) < \gamma_R(G - E_1) $，从而得出 $ b_R(G) \leq |E_1| \leq 15 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于在非负欧拉示性数曲面上2-胞射嵌入的图，罗马束缚数 $ b_R(G) $ 的最大可能值是多少？
• RQ2 平均度数、最大度数、围长和欧拉示性数如何共同约束罗马束缚数？
• RQ3 罗马束缚数是否可对平面图与环图普遍有界？若是，最紧的界是多少？
• RQ4 在何种顶点度数与边邻域结构条件下，边移除后 $ b_R(G) $ 保持较小？
• RQ5 低度顶点的存在与局部图结构如何影响罗马支配数的稳定性？

主要发现

• 对于任意连通图 $ G $ 满足 $ \Delta(G) \geq 2 $，其罗马束缚数满足 $ b_R(G) \leq 2ad(G) + \Delta(G) - 3 $，提供了基于度数的上界。
• 对于阶数为 $ n $、围长为 $ k < \infty $、且2-胞射嵌入在曲面 $ \mathbb{M} $ 上的图 $ G $，其欧拉示性数为 $ \chi $，有 $ b_R(G) \leq \frac{4k}{k-2}\left(1 - \frac{\chi}{n}\right) + \Delta(G) - 3 \leq -\frac{12\chi}{n} + \Delta(G) + 9 $。
• 若 $ G $ 2-胞射嵌入在满足 $ \chi(\mathbb{M}) \geq 0 $ 的曲面 $ \mathbb{M} $ 上，则 $ b_R(G) \leq 15 $，该结论对所有非负欧拉示性数的曲面均成立，包括球面、环面、射影平面和克莱因瓶。
• 当 $ \Delta(G) \geq 7 $ 时，通过分析顶点度数划分并应用定理 E 到度数和有界的长度为2的路径，可保持 $ b_R(G) \leq 15 $ 的界。
• 当 $ \delta(G) = 6 $ 时，$ G $ 将是环面或克莱因瓶上的6-正则三角剖分，与 $ \Delta(G) \geq 7 $ 矛盾，故必有 $ \delta(G) \leq 5 $，从而保证 $ V_{\leq 5} $ 非空，使结构分析成为可能。
• 当 $ G_{\geq 6} $ 中所有度数不超过6的顶点在 $ V_{\leq 5} $ 中的邻居数不超过1时，若存在一条2-路径 $ xyz $ 满足 $ d_G(x) + d_G(y) \leq 13 $ 且 $ |N_G(x) \cap N_G(y)| \geq 2 $，则可推出 $ b_R(G) \leq 14 $，表明在此类情况下界严格小于15。