[论文解读] On the second and third exterior power of tangent bundles of Fano manifolds with birational contractions

Kazunori Yasutake|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文分类了具有初等有理联络的Fano流形，其切丛的二阶或三阶外幂为数值有效（nef）。利用极小有理曲线的极射线结构及切丛的性质，证明了当 $ n \geq 3 $ 时，若 $ \wedge^2\mathcal{T}_X $ 为 nef，则 $ X \cong \mathrm{Bl}_{\mathrm{pt}}(\mathbb{P}^n) $。当 $ n \geq 4 $ 时，若 $ \wedge^3\mathcal{T}_X $ 为 nef，则 $ X $ 同构于七类特定的 Fano 流形，包括 $ \mathbb{P}^n $ 和二次超曲面的爆破。

ABSTRACT

In this paper, we classify Fano manifolds with elementary contractions of birational type such that the second or third exterior power of tangent bundles are numerically effective.

研究动机与目标

• 对具有初等有理联络且其切丛二阶外幂为数值有效的 Fano 流形进行分类。
• 将分类结果扩展至在类似条件下切丛三阶外幂为 nef 的情形。
• 解决 Campana 和 Peternell 提出的问题：是否在所有极小有理曲线上 $ \wedge^q\mathcal{T}_X $ 为 nef 意味着全局为 nef。
• 在高维情形下，提供满足 $ \wedge^2\mathcal{T}_X $ 或 $ \wedge^3\mathcal{T}_X $ 为 nef 条件的 Fano 流形的完整列表。
• 证明唯一具有初等有理联络且 $ \wedge^2\mathcal{T}_X $ 为 nef 的 Fano 流形是 $ \mathbb{P}^n $ 在一点上的爆破。

提出的方法

• 通过分析切丛沿极小有理曲线的分裂型，研究 $ \wedge^2\mathcal{T}_X $ 和 $ \wedge^3\mathcal{T}_X $ 在此类曲线上的限制。
• 应用弯折与断裂引理，以有理曲线在极小射线中的反 canonical 度为界。
• 利用锥定理和例外除子的结构，根据例外除子及其像的维数对可能的有理联络进行分类。
• 对 $ \mathbb{P}_Y(\mathcal{E}) $-丛使用正合列 $ 0 \to \mathcal{T}_\pi \to \mathcal{T}_X \to \pi^*\mathcal{T}_Y \to 0 $，分析外幂的 nef 性质。
• 应用关于伪指标较小的 Fano 流形的已知分类结果，如 Tsukioka 和 Kobayashi-Ochiai 的结果。
• 对正合列 $ 0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(E) \to \mathcal{N}_{E/X} \to 0 $ 使用上推导技术，将全空间重构为基流形上的射影丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些具有初等有理联络的 Fano 流形满足 $ \wedge^2\mathcal{T}_X $ 为数值有效？
• RQ2 哪些具有初等有理联络的 Fano 流形满足 $ \wedge^3\mathcal{T}_X $ 为数值有效（当 $ n \geq 4 $ 时）？
• RQ3 若 $ \wedge^q\mathcal{T}_X $ 在所有极小有理曲线上为 nef，是否意味着 Fano 流形上全局为 nef？
• RQ4 在有理联络下，满足 $ \wedge^2\mathcal{T}_X $ 或 $ \wedge^3\mathcal{T}_X $ 为 nef 的 Fano 流形的完整列表是什么？
• RQ5 能否通过 $ \wedge^2\mathcal{T}_X $ 的 nef 性质唯一刻画 $ \mathbb{P}^n $ 在一点上的爆破？

主要发现

• 当 $ n \geq 3 $ 时，若 $ X $ 是具有初等有理联络的 Fano 流形且 $ \wedge^2\mathcal{T}_X $ 为 nef，则 $ X \cong \mathrm{Bl}_{\mathrm{pt}}(\mathbb{P}^n) $，即 $ \mathbb{P}^n $ 在一点上的爆破。
• 当 $ n \geq 4 $ 时，若 $ \wedge^3\mathcal{T}_X $ 为 nef，则 $ X $ 同构于七类特定的 Fano 流形，包括 $ \mathrm{Bl}_{\mathrm{pt}}(\mathbb{P}^n) $、$ \mathbb{P}_{\mathbb{P}^{n-1}}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{n-1}} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^{n-1}}(-2)) $ 和 $ \mathbb{P}_{Q^{n-1}}(\mathcal{O}_{Q^{n-1}} \oplus \mathcal{O}_{Q^{n-1}}(-1)) $。
• 当 $ n \geq 4 $ 时，$ \mathbb{P}^n $ 沿一条直线的爆破包含在 $ \wedge^3\mathcal{T}_X $ 为 nef 的分类中。
• 当 $ n \geq 4 $ 时，$ \mathbb{P}^1 $ 与 $ \mathbb{P}^{n-1} $ 在一点上的爆破的积也是 $ \wedge^3\mathcal{T}_X $ 为 nef 的解。
• 当 $ n \geq 4 $ 时，光滑二次超曲面 $ Q^4 \subset \mathbb{P}^5 $ 沿一条不位于平面内的直线或圆锥的爆破也包含在 $ \wedge^3\mathcal{T}_X $ 为 nef 的分类中。
• 本文证实，若 $ \wedge^2\mathcal{T}_X $ 或 $ \wedge^3\mathcal{T}_X $ 在所有极小有理曲线上为 nef，则其在整体上也为 nef，从而证实了 Campana 和 Peternell 的一个猜想。