[论文解读] On the Selmer group attached to a modular form and an algebraic Hecke character

Yara Elias|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文构建了一个广义希格纳圈的欧拉系统，以有界模形式为偶权 $r+2$ 及其在虚二次域 $K$ 上的无分歧代数狄利克雷特征 $ \psi$ 的塞尔默群。通过将科利瓦金方法适配至高权模形式与广义希格纳圈，作者在广义希格纳圈非零的假设下，证明了在扭曲 Chow 群上的 $p$-进 Abel-Jacobi 映射的像具有 $ \mathbb{Q}_p$-维数为一，支持了贝林森-布洛赫-卡托猜想。

ABSTRACT

We construct an Euler system of generalized Heegner cycles to bound the Selmer group associated to a modular form and an algebraic Hecke character. The main argument is based on Kolyvagin's machinery explained by Gross while the key object of the Euler system, the generalized Heegner cycles, were first considered by Bertolini, Darmon and Prasanna.

研究动机与目标

• 为在虚二次域 $K$ 上的偶权 $r+2$ 模形式与无穷远处类型为 $(r,0)$ 的无分歧代数狄利克雷特征 $\psi$ 关联的塞尔默群建立有界。
• 通过广义希格纳圈将科利瓦金的欧拉系统方法扩展至高权模形式与狄利克雷特征。
• 验证贝林森-布洛赫-卡托猜想的预测：即 Abel-Jacobi 映射在扭曲 Chow 群上的像的 $\mathbb{Q}_p$-维数等于 $L$-函数在 $s = r+1$ 处的零点阶数。
• 在 $p$-进伽罗瓦表示的背景下，确立科利瓦金上同调类的非平凡性及其局部性质。

提出的方法

• 利用贝蒂诺林、达蒙与普拉萨纳引入的广义希格纳圈（与模形式和狄利克雷特征相关的库加-萨托流形上的代数圈）构建欧拉系统。
• 将贝蒂诺林与达蒙以及内科瓦日适配的科利瓦金下降法应用于 $p$-进 Abel-Jacobi 映射 $\Phi_{f,\psi,K}$，该映射从余维数 $r$ 圈的 Chow 群映射到伽罗瓦上同调。
• 使用 $p$-进 Abel-Jacobi 映射 $\Phi_{f,K}: \mathrm{CH}^r(X/K)_0 \to H^1(K, T_p(f))$，并将其扩展至 $p$-进伽罗瓦表示的张量积 $V_f \otimes V_\psi$，在 $p$ 上方的素数 $\wp$ 处局部化。
• 通过局部互惠律与弗罗贝尼乌斯条件，分析科利瓦金上同调类 $P(\varphi_n)^\psi$ 在 $\ell$ 上方的素点 $\lambda$ 处的局部行为，以研究其在上同调群 $H^1(K_\lambda^{ur}, V_\wp/p)^\psi$ 中的像。
• 应用互惠律，证明局部配对之和 $\sum_{\lambda|\ell|n} \langle s_\lambda^\psi, \mathrm{res}_\lambda P(\varphi_n)^\psi \rangle_\lambda = 0$，从而推出某些上同调类的平凡性。
• 证明模 $X_\ell^\psi$ 由 $\omega_q(\mathrm{res}_\beta P(\varphi_{\ell_0 q})^\psi)$ 生成，且 $S^{\overline{\psi}}$ 在 $\mathcal{O}_{F,\wp}/p$ 上的秩为一，利用 $P(\varphi_1)^\psi$ 的非零性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义希格纳圈非零的假设下，与模形式及狄利克雷特征 $\psi$ 关联的扭曲 Chow 群 $\mathrm{CH}^r(W/K)_0$ 上的 $p$-进 Abel-Jacobi 映射的像是否具有 $\mathbb{Q}_p$-维数一？
• RQ2 科利瓦金的欧拉系统方法能否被扩展至有界高偶权 $r+2$ 模形式与无穷远处类型为 $(r,0)$ 的代数狄利克雷特征 $\psi$ 的塞尔默群？
• RQ3 科利瓦金上同调类 $P(\varphi_n)^\psi$ 是否在 $\ell$ 和 $q$ 上方的素点处满足所需的局部平凡性与互惠条件？
• RQ4 模 $S^{\overline{\psi}}$ 在 $\mathcal{O}_{F,\wp}/p$ 上的秩是否为一，意味着科利瓦金系统生成一个一维上同调类？

主要发现

• 在广义希格纳圈非零的假设下，$p$-进 Abel-Jacobi 映射 $\Phi_{f,\psi,K}$ 在 $e_{f,\psi}$-扭曲 Chow 群 $\mathrm{CH}^r(W/K)_0$ 上的像具有 $\mathbb{Q}_p$-维数一，即 $\dim_{\mathbb{Q}_p}(\Phi_{f,\psi,K}(e_{f,\psi} \mathrm{CH}^r(W/K)_0) \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathbb{Q}_p) = 1$。
• 科利瓦金上同调类 $P(\varphi_n)^\psi$ 满足局部互惠律：$\sum_{\lambda|\ell|n} \langle s_\lambda^\psi, \mathrm{res}_\lambda P(\varphi_n)^\psi \rangle_\lambda = 0$，确保了欧拉系统构造的一致性。
• 映射 $\omega_\ell$ 下 $\mathrm{res}_\lambda P(\varphi_\ell)^\psi$ 的像在 $X_\ell^\psi$ 中为零，意味着 $X_\ell^\psi$ 由 $\omega_q(\mathrm{res}_\beta P(\varphi_{\ell q})^\psi)$ 生成，其中 $\ell \in L(U_0)$。
• $X_\ell^\psi$ 包含于 $X_q^\psi$，而 $X_q^\psi$ 是 $\mathcal{O}_{F,\wp}/p$ 上的秩一模，由 $\omega_q(\mathrm{res}_\beta P(\varphi_{\ell_0 q})^\psi)$ 生成，其中 $\ell_0 \in L(U_0)$。
• $S^{\overline{\psi}}$ 在 $\mathcal{O}_{F,\wp}/p$ 上的秩为一，由 $P(\varphi_1)^{\overline{\psi}}$ 的非零性及 $S^{\mathrm{dual},\psi}$ 由 $\{X_\ell^\psi\}_{\ell \in L(U_0)}$ 生成，从而确认了欧拉系统的非平凡性。
• $\mathrm{res}_\lambda P(\varphi_\ell)^\psi$ 与 $\mathrm{res}_\lambda P(\varphi_{\ell q})^\psi$ 在 $H^1(K_\lambda^{ur}, V_\wp/p)^\psi$ 中线性无关，确保了在每个素点处系统的丰富性。