[论文解读] On the Sensitivity Conjecture for Disjunctive Normal Forms

Chengyu Lin, Shengyu Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 54被引用 15

一句话总结

该论文为具有较小交替数的布尔函数建立了块敏感性和通信复杂度的新上界，将敏感性猜想和对数秩猜想的适用范围从单调函数扩展至更广的函数类。证明了块敏感性在交替数的平方与敏感性乘积的多项式范围内有界，且对于XOR和AND复合函数的通信复杂度，分别以交替数和对数秩为参数的多项式函数为上界。

ABSTRACT

The Sensitivity Conjecture and the Log-rank Conjecture are among the most important and challenging problems in concrete complexity. Incidentally, the Sensitivity Conjecture is known to hold for monotone functions, and so is the Log-rank Conjecture for $f(x \wedge y)$ and $f(x\oplus y)$ with monotone functions $f$, where $\wedge$ and $\oplus$ are bit-wise AND and XOR, respectively. In this paper, we extend these results to functions $f$ which alternate values for a relatively small number of times on any monotone path from $0^n$ to $1^n$. These deepen our understandings of the two conjectures, and contribute to the recent line of research on functions with small alternating numbers.

研究动机与目标

• 将敏感性猜想和对数秩猜想从单调函数推广至交替数较小的函数。
• 分析在偏离单调性较小时，复杂度度量（块敏感性、通信复杂度和度数）的行为特征。
• 基于交替数和对数秩，建立块敏感性和通信复杂度的多项式上界。
• 将先前针对单调函数的研究结果推广至结构上接近单调的更广泛函数类。

提出的方法

• 将交替数定义为从 0^n 到 1^n 的任意单调路径上取值变化的最大次数。
• 对AND和XOR复合函数的通信矩阵的1-覆盖数，采用归纳法与递归有界技术。
• 基于最大项（针对1-输入）、最小项（针对0-输入）以及通信复杂度本身，建立递归不等式。
• 利用通信矩阵秩与稀疏性的已知联系：AND函数使用M"obius稀疏性，XOR函数使用傅里叶稀疏性。
• 利用子函数在固定支撑的立方体上限制时，其交替数减小的性质，实现归纳有界。
• 综合三类有界性（最大项、最小项和直接通信复杂度有界）的不等式，推导出紧致的总体通信复杂度上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当交替数相对于敏感性为多项式有界时，敏感性猜想是否成立？
• RQ2 当外层函数具有较小交替数时，对数秩猜想能否推广至XOR和AND复合函数？
• RQ3 f◦⊕ 和 f◦∧ 的通信复杂度如何随 f 的交替数和通信矩阵的对数秩变化？

主要发现

• 块敏感性 bs(f) 满足 O(alt(f)^2 · s(f)) 的上界，确认了当 alt(f) = poly(s(f)) 时敏感性猜想成立。
• XOR函数的通信复杂度满足 CC(f◦⊕) ≤ 2 · alt(f) · log₂(rank(Mf◦⊕))，证明了当 alt(f) = poly(log(∥f̂∥₀)) 时对数秩猜想成立。
• 对于AND函数，CC(f◦∧) ≤ O(log^{alt(f)+1}(rank(Mf◦∧)))，确立了当 f 的交替数有界时对数秩猜想成立。
• 通过容忍一个 log n 因子，改进的界将 alt(f) 的依赖关系优化为 O(log^{alt(f)/2 + 1}(rank(Mf◦∧)) · log n)。
• 结果将先前针对单调函数的研究推广至交替数较小的更广泛函数类。
• 分析表明，小交替数意味着对通信复杂度和敏感性的强结构控制，即使在非单调函数中亦然。