[论文解读] On the Separability of Stochastic Geometric Objects, with Applications

Jie Xue, Yuan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出了在单点/多点不确定性模型下，计算随机双色几何对象的可分概率（SP）和期望分离间距（ESM）的最优算法。在 d ≥ 3 时，SP 的时间复杂度为 O(nN^{d-1})，ESM 的时间复杂度为 O(nN^d)，并给出了匹配的下界以证明其最优性，同时将该框架扩展至多面体和球体，从而为随机凸包问题提供了新解法。

ABSTRACT

In this paper, we study the linear separability problem for stochastic geometric objects under the well-known unipoint/multipoint uncertainty models. Let $S=S_R \cup S_B$ be a given set of stochastic bichromatic points, and define $n = \min\{|S_R|, |S_B|\}$ and $N = \max\{|S_R|, |S_B|\}$. We show that the separable-probability (SP) of $S$ can be computed in $O(nN^{d-1})$ time for $d \geq 3$ and $O(\min\{nN \log N, N^2\})$ time for $d=2$, while the expected separation-margin (ESM) of $S$ can be computed in $O(nN^{d})$ time for $d \geq 2$. In addition, we give an $Ω(nN^{d-1})$ witness-based lower bound for computing SP, which implies the optimality of our algorithm among all those in this category. Also, a hardness result for computing ESM is given to show the difficulty of further improving our algorithm. As an extension, we generalize the same problems from points to general geometric objects, i.e., polytopes and/or balls, and extend our algorithms to solve the generalized SP and ESM problems in $O(nN^{d})$ and $O(nN^{d+1})$ time, respectively. Finally, we present some applications of our algorithms to stochastic convex-hull related problems.

研究动机与目标

• 为解决现实世界数据中因测量不精确而缺乏高效线性可分性算法的问题。
• 计算随机双色点或几何对象线性可分的概率（SP）以及它们之间的期望间距（ESM）。
• 将这些算法推广至一般几何对象，如多面体和球体。
• 将结果应用于求解与随机凸包相关的各类问题，包括成员概率和交集概率。

提出的方法

• 提出一种基于见证的算法，通过点的极值构型枚举候选分离超平面。
• 利用几何对偶性和凸包性质，将候选分离超平面的数量减少至 d ≥ 3 时的 O(nN^{d-1})，用于 SP 计算。
• 应用随机采样与几何分解技术，以 O(nN^d) 时间计算期望分离间距（ESM）。
• 通过建模其不确定性并使用闵可夫斯基和进行分离性检查，将 SP 和 ESM 算法推广至球体和多面体。
• 利用 SP 算法通过查询点与现有点的超平面分离，实现随机凸包成员概率（SCHMP）的直接高效计算。
• 通过将问题约化为可分性查询，将该框架扩展至求解广义的 SCH 问题，如交集概率和 ε-距离概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单点/多点模型下，d 维空间中随机双色点的可分概率（SP）的计算复杂度是多少？
• RQ2 期望分离间距（ESM）能否高效计算，其理论运行时间下限是什么？
• RQ3 SP 和 ESM 问题如何推广至非点状几何对象，如球体和多面体？
• RQ4 所提出的算法能否应用于求解随机凸包成员概率及相关问题？
• RQ5 凸包中的见证面与高维空间中极端分离超平面的枚举之间存在何种关系？

主要发现

• 对于 d ≥ 3，一组随机双色点的 SP 可在 O(nN^{d-1}) 时间内计算，且该复杂度在所有基于见证的算法中为最优。
• 证明了 SP 计算的 Ω(nN^{d-1}) 下界，确认了所提算法在基于见证的模型下的最优性。
• ESM 可在 O(nN^d) 时间内计算，且不同分离间距的数量为 Θ(nN^d)，表明进一步优化可能不可行。
• SP 和 ESM 问题已推广至多面体和球体，对应算法的时间复杂度分别为 O(nN^d) 和 O(nN^{d+1})。
• SP 算法提供了一种直接且高效的方法，用于在 d ≥ 3 时以 O(m^{d-1}) 时间计算随机凸包成员概率（SCHMP），推广了先前的基于见证边的方法。
• 该框架支持新应用，包括计算查询对象与 SCH 交集的概率，以及查询点到 SCH 的期望距离，两者均可在 O(m^d) 时间内求解。