[论文解读] On the separation profile of infinite graphs

Itaï Benjamini, Oded Schramm+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文引入了分离剖面作为无限图的粗几何不变量，特别关注凯莱图和双曲空间。它证明了有限分离等价于有界树宽，确定了多种群的分离函数（例如，自由群的乘积为 $n / \log n$，$ olimits\mathbb{Z}^d$ 为 $n^{(d-1)/d}$），并证明了从 $ olimits\mathbb{Z}^2$ 到 $ olimits\mathbb{Z}$ 上的灯工群之间不存在半正则映射，将分离性与渐近维数及调和函数联系起来。

ABSTRACT

Initial steps in the study of inner expansion properties of infinite Cayley graphs and other infinite graphs, such as hyperbolic ones, are taken, in a flavor similar to the well-known Lipton-Tarjan square root separation result for planar graphs. Connections to relaxed versions of quasi-isometries are explored, such as regular and semiregular maps.

研究动机与目标

• 定义并分析作为无限图和路径度量空间的粗几何不变量的分离剖面。
• 确定关键无限图（包括具有中间增长的群的凯莱图、双曲空间以及图的乘积）的分离函数。
• 探索分离剖面与正则及半正则映射之间的联系，以及与渐近维数和调和函数等不变量的关系。
• 研究在顶点传递图中，线性或 $n/\log n$ 分离是否为可能的最大增长，以及其极限。
• 解决关于特定空间之间半正则映射存在的结构性问题，例如 $ olimits\mathbb{Z}^2$ 与 $ olimits\mathbb{Z}$ 上的灯工群之间是否存在此类映射。

提出的方法

• 引入分离函数 $\text{sep}_G(x)$，定义为所有大小为 $x$ 的子图中，为将其划分为大小不超过 $x/2$ 的连通分量而所需的最小顶点割集的上确界。
• 使用正则与半正则映射的概念，将不同空间之间的分离剖面联系起来，证明在这些映射下分离性是非减的。
• 应用准层级集与 $ olimits\mathbb{Z}^2$ 中连通分支增长的概念，证明了向 $ olimits\mathbb{Z}$ 及灯工群不存在半正则映射。
• 利用渐近维数理论，证明若 $X \to_{\text{s-reg}} Y$，则 $\text{asdim}(X) \leq \text{asdim}(Y)$，并利用此性质排除某些映射。
• 分析具体例子：$ olimits\mathbb{Z}^d$ 的分离度为 $n^{(d-1)/d}$，$T \times T$ 的分离度为 $n / \log n$，双曲图的分离度为常数或至少对数增长。
• 证明有限分离意味着有界树宽，并刻画了具有有限分离性的图的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些分离函数可由传递图或凯莱图实现，这些图可能的生长速率有哪些？
• RQ2 在顶点传递图中，$n/\log n$ 是否为可能的最大分离增长速率，还是线性分离也可能实现？
• RQ3 若谱半径小于 1 且满足弱分离条件，是否意味着存在非平凡有界调和函数？
• RQ4 $ olimits\mathbb{Z}^2$ 是否能半正则映射到 $ olimits\mathbb{Z}$ 上的灯工群？这又对渐近维数和分离剖面意味着什么？
• RQ5 是否存在从 $ olimits\mathbb{H}^2$ 到 $T \times \mathbb{Z}$ 的半正则映射？这与粗几何不变量有何关联？

主要发现

• $ olimits\mathbb{Z}^d$ 的分离函数为 $n^{(d-1)/d}$，显示出与维度的幂律依赖关系。
• 两个正则树的乘积 $T \times T$ 的分离函数为 $\asymp n / \log n$，表明多项式与对数增长之间存在一个尖锐的临界点。
• 图中有限分离等价于有界树宽，提供了图结构的刻画。
• 从 $ olimits\mathbb{Z}^2$ 到 $ olimits\mathbb{Z}$ 不存在半正则映射，因此也不存在到 $ olimits\mathbb{Z}$ 上灯工群的此类映射，原因在于准层级集中连通分支的增长无界。
• 对于格罗莫夫双曲图，分离函数要么为常数，要么至少以对数速度增长，确立了间隙定理。
• 渐近维数在半正则映射下保持单调性，该性质可排除某些映射（例如，从 $ olimits\mathbb{Z}^n$ 到 $ olimits\mathbb{Z}^m$，当 $n > m$ 时），提供了拓扑障碍。