[论文解读] On the Serrin-type condition on one velocity component for the Navier-Stokes equations

Dongho Chae, Joerg Wolf|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 32被引用 5

一句话总结

该论文通过证明单个速度分量的Serrin型条件 $ u_3 \in L^p(0,T;L^q(\mathbb{R}^3)) $，其中 $ \frac{2}{p} + \frac{3}{q} < 1 $ 且 $ 3 < q \leq \infty $，可保证弱Leray解的光滑性，建立了三维Navier-Stokes方程的新正则性准则。该结果通过消除先前条件中的次优间隙项 $ \delta(q) $，实现了近乎Serrin条件，并依赖于适合弱解的新局部正则性准则。

ABSTRACT

In this paper we consider the regularity problem of the Navier-Stokes equations in $ \R^{3} $. We show that the Serrin-type condition imposed on one component of the velocity $ u_3\in L^p(0,T; L^q(\R^{3} ))$ satisfying $ \frac{2}{p}+ \frac{3}{q} &lt;1$, $ 3

研究动机与目标

• 通过识别速度分量的精确可积性条件，解决三维Navier-Stokes方程全局正则性的开放问题。
• 改进现有Serrin型条件，这些条件要求存在间隙项 $ \delta(q) $，通过将其消除并实现近乎Serrin条件 $ \frac{2}{p} + \frac{3}{q} < 1 $。
• 为适合弱解建立仅基于一个速度分量的全新局部正则性准则，从而在最小可积性假设下实现全局正则性。
• 将Serrin型条件的适用范围扩展至 $ q \in (3, \infty] $ 的全范围，与Navier-Stokes方程的尺度不变性相匹配。

提出的方法

• 基于单个速度分量 $ u_3 $ 的 $ L^p(0,T;L^q) $ 范数，推导适合弱解的新局部正则性准则。
• 使用单位分解和二进分解，将问题局部化，并在环形区域中控制压力和速度分量。
• 通过覆盖论证和平均值性质，应用新的调和函数 $ L^p $-型估计，以控制压力梯度。
• 利用Calderón-Zygmund理论和极大函数估计，将压力以速度分量 $ u_3 $ 的形式有界。
• 在 $ \frac{2}{p} + \frac{3}{q} < 1 $ 条件下，利用Navier-Stokes方程的结构和无散度约束，建立 $ u_3 $ 的先验 $ L^p(0,T;L^q) $ 估计。
• 利用压力在某些区域为调和函数的事实，应用引理A.2，该引理为非各向同性圆柱体内调和函数提供了 $ L^p $-估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 单个速度分量的Serrin型条件能否被弱化，以消除间隙项 $ \delta(q) $，同时仍能保证正则性？
• RQ2 条件 $ u_3 \in L^p(0,T;L^q(\mathbb{R}^3)) $，其中 $ \frac{2}{p} + \frac{3}{q} < 1 $ 且 $ 3 < q \leq \infty $，是否足以保证弱Leray解的正则性？
• RQ3 能否为整个空间 $ \mathbb{R}^3 $ 中的适合弱解，基于单一速度分量推导出局部正则性准则？
• RQ4 单一分量的Serrin条件是否具有可缩放性，并在Navier-Stokes方程的自然尺度变换下保持不变？

主要发现

• 在 $ u_3 \in L^p(0,T;L^q(\mathbb{R}^3)) $，其中 $ \frac{2}{p} + \frac{3}{q} < 1 $ 且 $ 3 < q \leq \infty $ 的条件下，弱Leray解（初始数据属于 $ L^2 \cap L^3 $）的正则性得以保证。
• 该结果消除了先前所需的间隙项 $ \delta(q) $，实现了近乎Serrin条件，该条件在尺度不变性意义下为最优。
• 建立了仅依赖于一个速度分量的适合弱解的新局部正则性准则，这是实现全局正则性结果的关键。
• 证明依赖于在非各向同性圆柱体内调和函数的新 $ L^p $-估计，该估计在引理A.2中形式化，用于控制二进环形区域内的压力梯度。
• 该方法确保通过 $ u_3 $ 的 $ L^p(0,T;L^q) $ 范数控制压力项，利用无散度结构和能量估计。
• 该结果在最优性意义上是精确的：在Navier-Stokes方程的尺度不变性下，条件 $ \frac{2}{p} + \frac{3}{q} < 1 $ 是可能的最佳条件。