[论文解读] On the Set Multi-Cover Problem in Geometric Settings

Chandra Chekuri, Kenneth L. Clarkson+1 more|ArXiv.org|Sep 2, 2009

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 10

一句话总结

本文提出了几何集合多重覆盖问题的改进近似算法，其中每个点需被多个集合覆盖。通过利用浅切割和基于网格分解的聚类，作者在三维空间中实现了对轴对齐单位立方体的 O(1)-近似覆盖，以及对 VC 维有界的集合系统实现 O(log opt)-近似覆盖。

ABSTRACT

We consider the set multi-cover problem in geometric settings. Given a set of points P and a collection of geometric shapes (or sets) F, we wish to find a minimum cardinality subset of F such that each point p in P is covered by (contained in) at least d(p) sets. Here d(p) is an integer demand (requirement) for p. When the demands d(p)=1 for all p, this is the standard set cover problem. The set cover problem in geometric settings admits an approximation ratio that is better than that for the general version. In this paper, we show that similar improvements can be obtained for the multi-cover problem as well. In particular, we obtain an O(log Opt) approximation for set systems of bounded VC-dimension, where Opt is the cardinality of an optimal solution, and an O(1) approximation for covering points by half-spaces in three dimensions and for some other classes of shapes.

研究动机与目标

• 解决几何设置下的集合多重覆盖问题，其中每个点必须被指定数量的集合覆盖。
• 在标准集合覆盖之外，改进对圆盘、半空间和立方体等形状的几何集合系统的近似比。
• 提出一种基于聚类的方法，利用浅切割将问题简化为更小、更易处理的子实例。
• 实现对三维空间中轴对齐单位立方体覆盖的常数因子近似。
• 将重加权和 ɛ-网技术的适用范围扩展到几何范围空间中的多重覆盖设置。

提出的方法

• 使用基于网格的分解方法对点和形状进行聚类，将每个网格单元与一个子实例的多重覆盖问题关联。
• 应用浅切割将立方体的排列分解为 O(|f|) 个不相交的盒子，其中 |f| 是面上的顶点数。
• 利用所有轴对齐单位立方体均包含原点的事实，确保垂直投影保持覆盖结构。
• 利用浅切割引理来限制排列的复杂度，从而为子实例提供高效的近似。
• 对每个子实例求解线性规划松弛，并将解组合起来，获得完整问题的常数因子近似。
• 利用 VC 维和 ɛ-网理论，为 VC 维有界的通用几何集合系统获得 O(log opt)-近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 与一般集合覆盖相比，是否能在几何设置下为集合多重覆盖问题获得更优的近似比？
• RQ2 使用浅切割和聚类是否能实现对三维空间中立方体等几何形状的多重覆盖的常数因子近似？
• RQ3 重加权和 ɛ-网框架能否从集合覆盖推广到几何范围空间中的多重覆盖问题？
• RQ4 使用几何技术对三维空间中的半空间覆盖点，可达到的近似比是多少？
• RQ5 该方法能否推广到具有集合成本的加权集合多重覆盖问题？

主要发现

• 通过使用浅切割和基于网格的聚类，实现了对三维空间中轴对齐单位立方体覆盖的 O(1)-近似算法。
• 浅切割分解中一个面上的盒子数量受该面上顶点数的限制，从而支持高效分解。
• 对于 VC 维有界的集合系统，获得了 O(log opt)-近似，其中 opt 是最优解的大小。
• 该方法利用了 n 个轴对齐单位立方体的并集复杂度为线性的事实，支持高效计算。
• 该方法适用于其他几何类别，包括三维空间中用半空间覆盖点，可实现常数因子近似。
• 该算法在随机多项式时间内运行，并产生期望大小为 O(f) 的解，其中 f 是最优分数线性规划解的值。