[论文解读] On the sets of lengths of Puiseux monoids generated by multiple geometric sequences

Harold Polo|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2020

Rings, Modules, and Algebras参考文献 28被引用 7

一句话总结

本文研究由多个几何序列生成的 Puiseux 半群的因子分解性质，证明其长度集合是多维等差数列的有限并集，且其并集满足长度集合并集的结构定理。此外，本文还表明形如 \{md \mid m \in \mathbb{N}\} 的等差数列可作为某些 Puiseux 半群的间距集合实现。

ABSTRACT

In this paper, we study some of the factorization aspects of rational multicyclic monoids, that is, additive submonoids of the nonnegative rational numbers generated by multiple geometric sequences. In particular, we provide a complete description of the rational multicyclic monoids $M$ that are hereditarily atomic (i.e., every submonoid of $M$ is atomic). Additionally, we show that the sets of lengths of certain rational multicyclic monoids are finite unions of multidimensional arithmetic progressions, while their unions satisfy the Structure Theorem for Unions of Sets of Lengths. Finally, we realize arithmetic progressions as the sets of distances of some additive submonoids of the nonnegative rational numbers.

研究动机与目标

• 刻画所有子半群均为原子的有理多循环半群，即所有子半群均为原子的有理多循环半群。
• 分析由多个几何序列生成的典型有理多循环半群中长度集合的结构。
• 建立这些半群中长度集合的并集满足长度集合并集的结构定理。
• 将任意形如 \{md \mid m \in \mathbb{N}\} 的等差数列实现为某个 Puiseux 半群的间距集合。

提出的方法

• 将典型有理多循环半群定义为 \mathbb{Q}_{\geq 0} 中由有限个几何序列生成的加法子半群。
• 使用多维等差数列（MAP）的概念来描述长度集合，其中每个集合为形如 $ d_i\mathbb{Z} \cap [0, l_i d_i] $ 的区间的和。
• 应用最小因子分解长度与典型因子分解的理论，分析半群中元素 $ x $ 的 $ \mathsf{L}(x) $ 的结构。
• 通过构造满足 $ p_n > dn + 1 $ 的素数序列 $ p_n $，构造特定的 Puiseux 半群，以控制因子分解长度与间距。
• 利用因子分解长度之差可被固定整数 $ d $ 整除的性质，实现 $ \Delta(M) = \{md \mid m \in \mathbb{N}\} $。
• 利用长度集合并集的结构定理（见 [13, 定理 4.2]）验证这些半群中长度集合的并集满足所需的结构约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有理多循环半群是遗传原子的，即其所有子半群均为原子的？
• RQ2 由多个几何序列生成的典型有理多循环半群中，长度集合的精确结构是什么？
• RQ3 此类半群中长度集合的并集是否满足长度集合并集的结构定理？
• RQ4 是否每个形如 \{md \mid m \in \mathbb{N}\} 的等差数列均可作为某个 Puiseux 半群的间距集合出现？

主要发现

• 所有遗传原子的有理多循环半群恰好是其生成序列的比值与分母满足特定互素条件的那些半群。
• 典型有理多循环半群的长度集合是有限个多维等差数列的并集，如定义 2.1 所定义。
• 这些半群中长度集合的并集满足长度集合并集的结构定理，如 [13, 定理 4.2] 所建立。
• 对任意正整数 $ d $，存在一个 Puiseux 半群 $ M $，使得 $ \Delta(M) = \{md \mid m \in \mathbb{N}\} $，从而将任意无限等差数列实现为间距集合。
• 此类半群中任意非零元素的最小因子分解长度是唯一的，且所有元素的因子分解均可在其由基的有限子集生成的典型子半群内分析。
• 在所构造的半群中，任意元素 $ x $ 的间距集合 $ \Delta(x) $ 包含于 $ \{md \mid m \in \mathbb{N}\} $，且由于构造的因子分解具有被 $ d $ 整除的连续长度差，因此等式成立。