[论文解读] On the Severi varieties of surfaces in P^3

Luca Chiantini, Ciro Ciliberto|ArXiv.org|Feb 2, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 36

一句话总结

本文研究了 $\mathbb{P}^3$ 中的节点曲面的 Severi 簇，证明了对于一般次数 $d \geq 4$ 且足够高次的 $n$，Severi 簇 $V_{\mathcal{L},\delta}$ 中存在不可约且正则的分支。通过变形理论和归纳性退化技术，证明了在这些曲面上，存在具有 $N(d,n)$ 个节点的孤立且正则的节点曲线，从而实现了可约 Severi 簇的构造。

ABSTRACT

The Severi variety V_{n,d} of a smooth projective surface S is defined as the subvariety of the linear system |O_S(n)|, which parametrizes curves with d nodes. We show that, for a general surface S of degree k in P^3 and for all n>k-1, d=0,...,dim(|O_S(n)|), there exists one component of V_{n,d} which is reduced, of the expected dimension dim(|O_S(n)|)-d. Components of the expected dimension are the easiest to handle, trying to settle an enumerative geometry for singular curves on surfaces. On the other hand, we also construct examples of reducible Severi varieties, on general surfaces of degree k>7 in P^3.

研究动机与目标

• 研究 $\mathbb{P}^3$ 中光滑曲面上的节点曲线的 Severi 簇 $V_{\mathcal{L},\delta}$ 的存在性、维数和不可约性。
• 确定这些簇为正则的条件，即光滑且维数为预期的 $\dim|\mathcal{L}| - \delta$。
• 在 $\mathbb{P}^3$ 中一般次数 $d \geq 4$ 的曲面上构造可约 Severi 簇的例子。
• 将关于有理曲面和 K3 曲面上节点曲线的结果推广到 $\mathbb{P}^3$ 中的一般曲面。
• 通过退化和变形方法，建立一般曲面上孤立节点曲线的存在性。

提出的方法

• 使用无穷小变形理论分析在具有 $\delta$ 个节点的节点曲线 $C$ 处的切空间 $T_{V^{0}_{\mathcal{L},\delta},C} \simeq H^0(S, \mathcal{I}_Z \otimes \mathcal{L}) / H^0(C, \mathcal{O}_C)$ 和障碍空间 $H^1(S, \mathcal{I}_Z \otimes \mathcal{L})$。
• 应用正则性的判别准则：若 $Z$ 对 $|\mathcal{L}|$ 施加独立条件，且 $\dim T_{V^{0}_{\mathcal{L},\delta},C} = \dim|\mathcal{L}| - \delta$，则 $V^{0}_{\mathcal{L},\delta}$ 在 $C$ 处正则。
• 采用归纳性退化方法，将一般次数为 $d$ 的曲面 $S$ 退化为可约曲面 $S_0 = F \cup \pi$，其中 $F$ 为次数 $d-1$ 的曲面，$\pi$ 为一个平面。
• 在 $S_0$ 上构造一个节点曲线 $C_0 = C_0^1 \cup C_0^2$，其节点数为 $N(d-1,n) + \frac{(n-d+2)(n-d+3)}{2}$，且在 $S_0$ 上孤立。
• 将 $S_0$ 沿一个线性系变形为一般曲面 $S_t$，将节点曲线 $C_0$ 提升为 $S_t$ 上的节点曲线 $C_t$，其节点数保持不变。
• 利用单值性论证，并结合 $\pi \cap Q$ 的节点上不存在次数为 $n-d+1$ 的曲线的事实，证明 $C_t$ 在 $S_t$ 上孤立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\mathbb{P}^3$ 中一般次数 $d \geq 4$ 的曲面 $S$，当 $\delta = N(d,n)$ 时，Severi 簇 $V_{n,\delta}(S)$ 是否存在正则且不可约的分支？
• RQ2 能否在 $\mathbb{P}^3$ 中一般次数 $d \geq 4$ 的曲面上构造出次数为 $n$ 的孤立节点曲线？
• RQ3 在 $\mathbb{P}^3$ 中一般曲面上，Severi 簇 $V_{\mathcal{L},\delta}$ 何时为可约的？
• RQ4 K3 曲面上存在有理节点曲线是否意味着在 $\mathbb{P}^3$ 中一般曲面上的 Severi 簇中存在正则分支？
• RQ5 能否通过退化和变形方法实现 $\mathbb{P}^3$ 中一般次数 $d$ 的曲面上次数为 $n$ 的节点曲线上 $N(d,n)$ 个节点的实现？

主要发现

• 对于 $\mathbb{P}^3$ 中一般次数 $d \geq 4$ 的曲面 $S$，当所有 $n \geq d$ 且 $\delta = N(d,n)$ 时，Severi 簇 $V_{n,\delta}(S)$ 包含一个正则且不可约的分支，其中 $N(d,n) = N(d-1,n) + \frac{(n-d+2)(n-d+3)}{2}$。
• 在一般次数 $d$ 的曲面 $S_t$ 上，次数为 $n$ 的节点曲线 $C_t$ 是孤立的，即其节点数在变形过程中无法保持不变。
• $\u005Cmathbb{P}^3$ 中一般次数 $d \geq 4$ 的曲面 $S$ 上，Severi 簇 $V_{n,\delta}(S)$ 是可约的，这由多个不可约分支的存在性所证明。
• 在退化曲面 $S_0 = F \cup \pi$ 上的曲线 $C_0 = C_0^1 \cup C_0^2$ 是孤立的，原因在于 $\pi$ 上不存在通过 $\pi \cap G$ 的节点的次数为 $n-d+1$ 的曲线。
• 将 $S_0$ 变形为 $S_t$ 时，节点曲线 $C_0$ 被提升为 $S_t$ 上的节点曲线 $C_t$，其节点数和孤立性均被保持。
• 该构造依赖于不可约曲线的一般超平面截面的单值群为全对称群的事实，从而确保横截性和条件的独立性。