[论文解读] On the shadow boundary of a centrally symmetric convex body

Ákos G. Horváth|ArXiv.org|Jun 20, 2007

Point processes and geometric inequalities参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文研究了n维欧氏空间中中心对称凸体的影子边界之拓扑结构，证明若平分线（在Minkowski范数下到两点距离相等的点的集合）是拓扑超平面，则影子边界同胚于(n−2)维球面。主要贡献在于证明在流形情形下，此类嵌入是标准的，即平分线是拓扑超平面当且仅当影子边界是拓扑(n−2)球面。

ABSTRACT

We discuss the concept of the shadow boundary of a centrally symmetric convex ball $K$ (actually being the unit ball of a Minkowski normed space) with respect to a direction ${\bf x}$ of the Euclidean n-space $R^n$. We introduce the concept of general parameter spheres of $K$ corresponding to this direction and prove that the shadow boundary is a topological manifold if all of the non-degenerated general parameter spheres are, too. In this case, using the approximation theorem of cell-like maps we get that they are homeomorphic to the $(n-2)$-dimensional sphere $S^{(n-2)}$. We also prove that the bisector (equidistant set of the corresponding normed space) in the direction ${\bf x}$ is homeomorphic to $R^{(n-1)}$ iff all of the non-degenerated general parameter spheres are $(n-2)$-manifolds implying that if the bisector is a homeomorphic copy of $R^{(n-1)}$ then the corresponding shadow boundary is a topological $(n-2)$-sphere.

研究动机与目标

• 阐明中心对称凸体的影子边界与Minkowski空间中平分线结构之间的拓扑关系。
• 确定所有平分线均为拓扑超平面的条件是否蕴含单位球的严格凸性。
• 研究影子边界是否为拓扑(n−2)球面是否能刻画平分线为拓扑超平面。
• 分析在流形情形下平分线与影子边界的嵌入性质，特别是其是否允许非标准（野生）嵌入。

提出的方法

• 将影子边界S(K,x)定义为K的边界上满足沿方向x的直线支撑K但不进入其内部的点的集合。
• 利用垂直于x的超平面上的正交投影px，将影子边界与K的投影的边界联系起来。
• 将bdK的正负部分K+和K−刻画为开集、道路连通集，并同胚于R^{n-1}。
• 引入一般参数球面γλ(K,x)作为规范函数的等值集，并通过逼近于胞射映射的方法研究其拓扑性质。
• 应用M.Brown关于R^{n-1}同胚像的递增序列并集的定理，证明若所有非退化的参数球面同胚于S^{n-2}，则平分线Hx同胚于R^{n-1}。
• 通过紧化和同胚的延拓，证明在流形情形下，平分线、影子边界及参数球面的嵌入均为标准的（即通过环境同胚等价于标准嵌入）。

实验结果

研究问题

• RQ1 当且仅当对应平分线是拓扑超平面时，中心对称凸体的影子边界是否同胚于(n−2)球面？
• RQ2 平分线是否可能为拓扑超平面而影子边界不是拓扑(n−2)球面？
• RQ3 在流形情形下，平分线、影子边界及一般参数球面的嵌入是否总是标准的（即在环境同胚下等价于标准嵌入）？
• RQ4 影子边界的拓扑结构是否蕴含平分线为拓扑超平面，反之亦然？
• RQ5 在一般参数球面为流形的条件下，何时可推出平分线同胚于R^{n-1}？

主要发现

• 影子边界S(K,x)是紧致的、连通的(n−2)维集合，将K的边界分为三部分互不相交的集合：S(K,x)、K+和K−。
• K+和K−同胚于R^{n-1}，且其并集为开集且道路连通。
• 若平分线Hx同胚于R^{n-1}，则所有λ > λ₀的非退化一般参数球面γλ(K,x)同胚于S^{n-2}，且影子边界S(K,x)为拓扑(n−2)球面。
• 在流形情形下，平分线Hx、影子边界S(K,x)及一般参数球面γλ(K,x)的嵌入均为标准的，即在环境空间的同胚下等价于标准嵌入。
• 在所有相关集合均为流形的假设下，平分线Hx是拓扑超平面当且仅当影子边界S(K,x)是拓扑(n−2)球面。
• 证明依赖于M.Brown定理及从紧化集到整体的同胚延拓，表明补集分量的胞射结构确保了标准嵌入。