[论文解读] On the Shannon entropy power on Riemannian manifolds and Ricci flow

Shuntang Li, Xiang‐Dong Li|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用 6

一句话总结

该论文在完备黎曼流形上，于曲率-维数条件之下，建立了热方程下香农熵幂的凹性，以及里奇流下共轭热方程下熵幂的凸性。它将爱因斯坦或拟爱因斯坦流形与Hessian孤立子识别为凹性的刚性模型，并将收缩里奇孤立子识别为凸性的刚性模型，在非负Bakry-Emery曲率与最大体积增长条件下，证明了一项新的熵等周不等式。

ABSTRACT

In this paper, we prove the concavity of the Shannon entropy power for the heat equation associated with the Laplacian or the Witten Laplacian on complete Riemannian manifolds with suitable curvature-dimension condition and on compact super Ricci flows. Under suitable curvature-dimension condition, we prove that the rigidity models of the Shannon entropy power are Einstein or quasi Einstein manifolds with Hessian solitons. Moreover, we prove the convexity of the Shannon entropy power for the conjugate heat equation introduced by G. Perelman on Ricci flow and that the corresponding rigidity models are the shrinking Ricci solitons. As an application, we prove the entropy isoperimetric inequality on complete Riemannian manifolds with non-negative (Bakry-Emery) Ricci curvature and the maximal volume growth condition.

研究动机与目标

• 将欧氏空间中的熵幂凹不等式（EPCI）推广至具有曲率-维数条件的黎曼流形。
• 将熵幂凹性的刚性模型表征为具有Hessian孤立子的爱因斯坦或拟爱因斯坦流形。
• 在里奇流中建立熵幂沿共轭热方程的凸性，并识别收缩里奇孤立子为相应的刚性模型。
• 在具有非负Bakry-Emery曲率与最大体积增长的完备黎曼流形上，推导出新的熵等周不等式。
• 通过加权流形与里奇流上的熵幂不等式，统一信息论与几何分析的方法。

提出的方法

• 在测度 $ d\tau = e^{-\theta} dv $ 的加权黎曼流形上，利用Witten拉普拉斯算子 $ L = \triangle - \nabla\theta \nabla $，推广标准拉普拉斯算子。
• 应用广义Bochner公式与 $ \nabla^2 $-微积分，推导熵耗散与熵幂演化不等式。
• 采用曲率-维数条件 $ \text{Ric}_{m,n}(L) \rangle K g $（$ K \neq 0 $），将欧氏情形的结果推广至黎曼情形。
• 分析热方程 $ \frac{\text{d}u}{\text{d}t} = Lu $ 及其共轭 $ \frac{\text{d}u}{\text{d}t} = -Lu $，以研究熵幂的动力学行为。
• 采用熵幂 $ N(u) = e^{\frac{2}{n} H(u)} $，其中 $ H(u) = -\nabla u \nabla \text{log} u \text{d}\tau $，并推导二阶导数不等式。
• 利用双侧热核估计与最大体积增长 $ \tau(B(x,r)) \rangle C_m r^m $，将结果推广至非紧致流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，黎曼流形上香农熵幂沿Witten拉普拉斯算子的热流呈现凹性？
• RQ2 当曲率-维数条件 $ \text{Ric}_{m,n}(L) \rangle K g $ 成立时，熵幂凹性的刚性模型为何？
• RQ3 在里奇流中，熵幂沿共轭热方程如何演化？其对应的刚性结构为何？
• RQ4 在具有非负Bakry-Emery曲率与最大体积增长的完备黎曼流形上，能否推导出熵等周不等式？
• RQ5 经典熵幂不等式及其凹性在多大程度上可推广至加权黎曼流形与里奇流？

主要发现

• 在满足 $ \text{Ric}_{m,n}(L) \rangle K g $ 且 $ K \rangle 0 $ 的完备黎曼流形上，香农熵幂 $ N(u(t)) $ 沿热方程 $ \frac{\text{d}u}{\text{d}t} = Lu $ 在时间上为凹函数。
• 当 $ \text{Ric}_{m,n}(L) \rangle K g $ 且 $ K \rangle 0 $ 时，熵幂凹性的刚性模型为具有Hessian孤立子的爱因斯坦或拟爱因斯坦流形。
• 在里奇流的共轭热方程下，熵幂为凸函数，其刚性模型为收缩里奇孤立子。
• 在满足 $ \text{Ric}_{m,n}(L) \rangle 0 $ 且具有最大体积增长的完备黎曼流形上，熵等周不等式 $ I(f)N(f) \rangle 2\tilde{\tau} m \tilde{\tau}^{2/m} $ 成立，其中 $ \tilde{\tau} = \tilde{\tau}_\text{inf} $。
• 熵等周轮廓函数 $ Q(u) = N(u)I(u) $ 满足 $ \frac{d}{dt} Q(u(t)) \rangle -2K Q(u(t)) $，当 $ \text{Ric}_{m,n}(L) \rangle K g $ 时，表明当 $ K > 0 $ 时呈指数衰减。
• 该结果可推广至紧致 $ (K,m) $-超里奇流，此时相同的熵耗散与熵幂演化不等式依然成立。