[论文解读] On the Shift Operator, Graph Frequency and Optimal Filtering in Graph Signal Processing

Adnan Gavili, Xiao–Ping Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2015

Advanced Graph Neural Networks参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新型的能量保持图移位算子，使图信号处理框架能够严格类比经典信号处理。通过将图结构与邻接矩阵或拉普拉斯矩阵的特征值解耦，并定义线性时不变滤波器，该方法建立了图傅里叶变换、相关函数以及最优维纳滤波的精确解，克服了传统基于邻接矩阵或拉普拉斯矩阵的算子在信号能量上产生失真的局限性。

ABSTRACT

Defining a sound shift operator for signals existing on a certain graph structure, similar to the well-defined shift operator in classical signal processing, is a crucial problem in graph signal processing, since almost all operations, such as filtering, transformation, prediction, are directly related to the graph shift operator. We define a set of energy-preserving shift operators that satisfy many properties similar to their counterparts in classical signal processing. Our definition of the graph shift operator negates the shift operators defined in the literature, such as the graph adjacency matrix and Laplacian matrix based shift operators, which modify the energy of a graph signal. We decouple the graph structure represented by eigengraphs and the eigenvalues of the adjacency matrix or the Laplacian matrix. We show that the adjacency matrix of a graph is indeed a linear shift invariant (LSI) graph filter with respect to the defined shift operator. We introduce graph finite impulse response (GFIR) and graph infinite impulse response (GIIR) filters and obtain explicit forms for such filters. We further define autocorrelation and cross-correlation functions of signals on the graph, enabling us to obtain the solution to the optimal filtering on graphs, i.e., the corresponding Wiener filtering on graphs and the efficient spectra analysis and frequency domain filtering in parallel with those in classical signal processing. This new shift operator based GSP framework enables the signal analysis along a correlation structure defined by a graph shift manifold as opposed to classical signal processing operating on the assumption of the correlation structure with a linear time shift manifold. We further provide the solution to the optimal linear predictor problem over general graphs. Several illustrative simulations are presented to validate the performance of the optimal LSI filters.

研究动机与目标

• 为解决图信号处理（GSP）中缺乏能量保持移位算子的问题，该问题会损害滤波和谱分析的一致性。
• 通过特征图（eigengraphs）将图结构与邻接矩阵或拉普拉斯矩阵的特征值解耦，从而实现信号处理操作的独立设计。
• 基于新移位算子建立图有限和无限脉冲响应（GFIR/GIIR）滤波器的正式框架。
• 定义图相关函数，并通过图上的维纳滤波实现最优线性滤波，类比经典信号处理。
• 利用所提出的移位算子框架求解一般图上的最优线性预测问题。

提出的方法

• 提出一种保等距且能量保持的新图移位算子，确保信号能量在重复应用下保持不变。
• 利用新移位算子定义图傅里叶变换和谱分析，实现类似于经典信号处理的频域处理。
• 引入图有限脉冲响应（GFIR）和无限脉冲响应（GIIR）滤波器，并基于移位算子推导出显式闭式表达式。
• 推导图自相关和互相关函数，以实现图上通过维纳滤波的最优滤波。
• 使用范德蒙德矩阵求逆求解线性时不变（LSI）图滤波器的滤波器系数，确保高效计算。
• 证明邻接矩阵相对于新移位算子为LSI图滤波器，提供基础一致性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种图移位算子，使其像经典信号处理中的时间移位算子一样保持信号能量？
• RQ2 如何以类比经典信号处理的方式，同时尊重图结构，形式化图滤波、谱分析和最优滤波？
• RQ3 在新移位算子框架下，邻接矩阵作为线性时不变滤波器的角色是什么？
• RQ4 如何基于所提出的相关函数和谱框架，推导并实现图上的最优维纳滤波？
• RQ5 能否利用新移位算子和相关函数求解任意图上的最优线性预测问题？

主要发现

• 所提出的移位算子具有能量保持和等距特性，而邻接矩阵或拉普拉斯矩阵则不具备，后者在重复应用下会扭曲信号能量。
• 证明邻接矩阵相对于新移位算子为线性时不变（LSI）图滤波器，确立了基本的一致性性质。
• 通过范德蒙德矩阵求逆，推导出GFIR和GIIR滤波器的显式闭式解，实现高效滤波器设计。
• 定义了图自相关和互相关函数，使图上最优维纳滤波的推导成为可能，并获得精确的解析解。
• 利用新框架求解了一般图上的最优线性预测问题，仿真结果验证了性能。
• 该框架使图信号能够在频域实现并行处理，类比经典信号处理，且具有一致的谱解释。