[论文解读] On the Signed (Total) $k$-Domination Number of a Graph

Hongyu Liang|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文研究图中的符号（总）$k$-支配数，证明对于所有固定的 $k \geq 1$，计算这些参数是NP难的。通过最小度和最大度，建立了符号$k$-支配数与符号总$k$-支配数的紧下界，推广了已知结果，并为极值图族提供了紧的渐近表达式。

ABSTRACT

Let $k$ be a positive integer and $G=(V,E)$ be a graph of minimum degree at least $k-1$. A function $f:V ightarrow \{-1,1\}$ is called a \emph{signed $k$-dominating function} of $G$ if $\sum_{u\in N_G[v]}f(u)\geq k$ for all $v\in V$. The \emph{signed $k$-domination number} of $G$ is the minimum value of $\sum_{v\in V}f(v)$ taken over all signed $k$-dominating functions of $G$. The \emph{signed total $k$-dominating function} and \emph{signed total $k$-domination number} of $G$ can be similarly defined by changing the closed neighborhood $N_G[v]$ to the open neighborhood $N_G(v)$ in the definition. The \emph{upper signed $k$-domination number} is the maximum value of $\sum_{v\in V}f(v)$ taken over all \emph{minimal} signed $k$-dominating functions of $G$. In this paper, we study these graph parameters from both algorithmic complexity and graph-theoretic perspectives. We prove that for every fixed $k\geq 1$, the problems of computing these three parameters are all \NP-hard. We also present sharp lower bounds on the signed $k$-domination number and signed total $k$-domination number for general graphs in terms of their minimum and maximum degrees, generalizing several known results about signed domination.

研究动机与目标

• 确定计算符号$k$-支配数、符号总$k$-支配数以及上界符号$k$-支配数的计算复杂性。
• 通过推导符号$k$-支配数与符号总$k$-支配数的紧下界，推广已知的符号支配结果。
• 通过图的结构构造，刻画这些下界达到紧致性的极值图族。

提出的方法

• 通过从已知的NP完全问题约化，证明符号$k$-支配与符号总$k$-支配问题的NP难性，其中符号总情况有详细构造。
• 定义符号$k$-支配函数 $f: V \to \{-1, 1\}$，使得对所有 $v \in V$，有 $\sum_{u \in N_G[v]} f(u) \geq k$，并类似地定义使用开邻域的总版本。
• 通过使用大小适当选择的不相交完全二部图 $K_{a,b}$ 的副本，构造具有指定最小度 $\delta$ 与最大度 $\Delta$ 的无限图族。
• 利用完全图的1-因子分解，将由 $P$ 和 $Q$（二部图构造的两部分）诱导的子图正则化，以实现精确的度序列 $\delta$ 与 $\Delta$。
• 推导出 $\gamma_{kS}(G)$ 与 $\gamma^{t}_{kS}(G)$ 的闭式下界，其表达式以 $\delta$、$\Delta$、$k$ 以及依赖于 $\delta$ 与 $\Delta$ 奇偶性的指示函数 $I_{\delta}$、$I_{\Delta}$ 表示。
• 通过极值图构造证明所推导的下界是紧的，即在特定图族中等号成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于每个固定的 $k \geq 1$，计算符号$k$-支配数的问题是否为NP难？
• RQ2 对于每个固定的 $k \geq 1$，计算符号总$k$-支配数的问题是否为NP难？
• RQ3 以图的最小度与最大度表示时，符号$k$-支配数的最紧下界是什么？
• RQ4 能否构造出极值图族，使得符号$k$-支配数达到所推导的下界？
• RQ5 符号$k$-支配与符号总$k$-支配的下界如何推广此前对 $k=1$ 的已知结果？

主要发现

• 通过约化技术证明，符号$k$-支配数与符号总$k$-支配数对每个固定的 $k \geq 1$ 都是NP难计算的。
• 建立了符号$k$-支配数的紧下界：$\gamma_{kS}(G) \geq |V(G)| \cdot \frac{\delta - \Delta + 2k + I_\delta + I_\Delta}{\delta + \Delta + 2 + I_\delta - I_\Delta}$，其中 $I_x = 1$ 当 $x$ 为奇数，否则为 $0$。
• 对于任意满足 $\Delta \geq \delta \geq k+1$ 的 $\delta$ 与 $\Delta$，存在一个无限图族，使得 $\gamma_{kS}(G) = |V(G)| \cdot \frac{\delta - \Delta + 2k + I_\delta + I_\Delta}{\delta + \Delta + 2 + I_\delta - I_\Delta}$，从而证明了该下界的紧致性。
• 类似地，推导出符号总$k$-支配数的紧下界：$\gamma^{t}_{kS}(G) \geq |V(G)| \cdot \frac{\delta - \Delta + 2k + 2 - I_\delta - I\Delta}{\delta + \Delta + I_\Delta - I_\delta}$。
• 这些下界推广了 $k=1$ 时的已知结果，包括符号支配数与符号总支配数，并将其扩展至任意 $k \geq 1$。
• 推论表明，对于几乎 $r$-正则图（$r \geq k$），有 $\gamma_{kS}(G) \geq kn/(r + I_{r-1})$ 与 $\gamma^{t}_{kS}(G) \geq kn/(r - I_{r-1})$，且当 $\Delta(G) \leq \delta(G) + 2k$ 时，有 $\gamma_{kS}(G) \geq 0$ 与 $\gamma^{t}_{kS}(G) \geq 0$。