[论文解读] On the similarity of Peridynamics and Smooth-Particle Hydrodynamics

Georg Ganzenmüller, Stefan Hiermaier+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2014

Numerical methods in engineering参考文献 20被引用 1

一句话总结

本文表明，当将非局部动力学（Peridynamics）应用于基于形变梯度的经典材料模型时，其离散化方程在节点积分下在数学上等价于光滑粒子动力学（Smooth-Particle Hydrodynamics, SPH）的方程。这种等价性意味着非局部动力学继承了SPH的不稳定性——特别是由于节点积分中秩亏缺陷导致的虚假零能模态——因此必须采用增强型积分格式以实现稳定且精确的模拟。

ABSTRACT

This paper discusses the similarity of meshless discretizations of Peridynamics and Smooth-Particle-Hydrodynamics (SPH), if Peridynamics is applied to classical material models based on the deformation gradient. We show that the discretized equations of both methods coincide if nodal integration is used. This equivalence implies that Peridynamics reduces to an old meshless method and all instability problems of collocation-type particle methods apply. These instabilities arise as a consequence of the nodal integration scheme, which causes rank-deficiency and leads to spurious zero-energy modes. As a result of the demonstrated equivalence to SPH, enhanced implementations of Peridynamics should employ more accurate integration schemes.

研究动机与目标

• 研究在经典材料模型下，非局部动力学与光滑粒子动力学（SPH）之间的数学关系。
• 识别非局部动力学中的节点积分是否会导致与SPH类似的数值不稳定性。
• 确立当使用节点积分时，非局部动力学退化为一种具有已知不稳定问题的无网格方法。
• 推动在非局部动力学公式中采用更精确的积分格式，以克服这些不稳定性。

提出的方法

• 该研究基于形变梯度，采用经典材料模型构建非局部动力学公式。
• 对非局部动力学方程的弱形式应用节点积分进行离散化。
• 将所得离散方程与在相同积分格式下的SPH方程进行直接比较。
• 在相同假设和积分规则下，通过解析方法证明了离散系统的等价性。
• 分析识别出节点积分格式中的秩亏缺陷是虚假零能模态的根源。
• 本文主张应采用增强型积分技术（如稳定化积分或高斯积分）以缓解这些不稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当非局部动力学与SPH均采用节点积分且基于经典材料模型时，是否存在数学上的等价性？
• RQ2 SPH中观察到的不稳定性（如虚假零能模态）是否也会在非局部动力学的节点积分下出现？
• RQ3 使用节点积分的非局部动力学公式中不稳定的根源是什么？
• RQ4 与SPH的等价性能否为改进非局部动力学实现提供启示？
• RQ5 在非局部动力学中应优先采用何种积分格式以避免继承自SPH的不稳定性？

主要发现

• 当非局部动力学与SPH均采用节点积分且基于形变梯度的经典材料模型时，其产生的离散方程完全相同。
• 非局部动力学中的不稳定性源于节点积分格式的秩亏缺陷，导致虚假零能模态的出现。
• 等价性表明，非局部动力学继承了所有类似SPH的配点型粒子方法的数值不稳定性。
• 这些不稳定的根源在于节点积分格式缺乏一致性，无法正确保证积分精度。
• 本文结论指出，必须在非局部动力学模拟中采用增强型积分格式（如稳定化积分或高斯积分）以确保稳定性和准确性。
• 采用更精确的积分方法对于避免虚假模态并确保非局部动力学分析结果的可靠性至关重要。