[论文解读] On the Simpson index for the Moran process with random selection and immigration

Arnaud Personne, Arnaud Guillin+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 5

一句话总结

本文提出了一种在具有时变选择与移民的多物种莫兰过程（Moran process）中，对辛普森指数（Simpson index）进行前向时间近似的方法，通过大种群扩散极限推导出该指数期望的解析可处理近似解，且误差可控。关键贡献在于提出了一种新颖的前向方法，可在弱选择与随机环境扰动下实现对生物多样性动态的精确、时变估计，其有效性已在两物种与三物种设置下通过分析与数值结果得到验证。

ABSTRACT

Moran or Wright-Fisher processes are probably the most well known model to study the evolution of a population under various effects. Our object of study will be the Simpson index which measures the level of diversity of the population, one of the key parameter for ecologists who study for example forest dynamics. Following ecological motivations, we will consider here the case where there are various species with fitness and immigration parameters being random processes (and thus time evolving). To measure biodiversity, ecologists generally use the Simpson index, who has no closed formula, except in the neutral (no selection) case via a backward approach, and which is difficult to evaluate even numerically when the population size is large. Our approach relies on the large population limit in the "weak" selection case, and thus to give a procedure which enable us to approximate, with controlled rate, the expectation of the Simpson index at fixed time. Our approach will be forward and valid for all time, which is the main difference with the historical approach of Kingman, or Krone-Neuhauser. We will also study the long time behaviour of the Wright-Fisher process in a simplified setting, allowing us to get a full picture for the approximation of the expectation of the Simpson index.

研究动机与目标

• 解决在具有选择与移民的非中性、时变生态模型中，辛普森指数期望缺乏闭式解的问题。
• 发展一种适用于所有时间的大型种群极限近似方法，克服基尔曼（Kingman）等后向时间共祖先方法的局限性。
• 在弱选择与随机环境波动下建模生物多样性动态，反映现实生态中适应度与移民率随时间变化的特征。
• 为具有时变参数的多物种群落中辛普森指数的估计提供数值可处理的框架。
• 在无移民与有移民两种情形下，分析长期行为，包括吸收与不变测度。

提出的方法

• 在大种群极限下，对具有随机选择与移民的离散莫兰过程使用扩散近似。
• 应用伊tô公式（Itô’s formula）与鞅技术，推导在时变选择与移民参数下的辛普森指数期望。
• 利用扩散理论中的尺度函数与速度测度，分析两物种模型中的吸收时间与 hitting 概率。
• 通过扩散过程生成元所导出的常微分方程的解，推导辛普森指数期望的显式近似。
• 通过推广矩近似技术，将框架扩展至三类或以上物种，并分析过程的长期行为。
• 通过数值应用验证结果，将近似结果与各种参数配置下的精确值或模拟值进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有时变选择与移民的多物种莫兰过程中，如何对辛普森指数的期望进行近似？
• RQ2 在弱选择与随机移民条件下，辛普森指数的长期行为如何，特别是其吸收特性与不变分布？
• RQ3 所提出的前向时间方法在有限时间范围内，与经典后向时间共祖先方法相比，在准确度与适用性方面有何差异？
• RQ4 随机选择与移民对生物多样性动态（以辛普森指数衡量）有何影响？
• RQ5 在何种条件下过程会达到吸收或收敛至平稳分布？这些条件如何依赖于移民与选择参数？

主要发现

• 本文基于扩散极限的前向方法，推导出在任意固定时间点辛普森指数期望的可控误差率近似，且该近似对所有时间范围均有效。
• 在两物种情形下，利用二阶常微分方程的解，显式近似了吸收的期望时间，并通过鞅技术推导出边界。
• 在非零移民条件下，长期行为由不变测度的存在性所刻画，且过程返回边界（0 与 1）的条件取决于移民率与选择强度。
• 当选择为随机且时变时，模型表明生物多样性可被维持或增强，具体取决于选择系数的时间相关性与大小。
• 数值结果表明，即使在中等种群规模下，该近似也具有较高准确性，尤其在弱选择区域表现更优。
• 分析表明，在随机移民与选择条件下，辛普森指数显著高于中性模型，提示其可能为多样性增加提供一种机制。