[论文解读] On the simulation of quantum circuits

Richard Jozsa|ArXiv.org|Mar 19, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用 49

一句话总结

本文提出了一种简化且直接的证明，表明具有有界'门交叉深度' D 的量子线路（定义为任意量子比特线上穿过的两量子比特门的最大数量）可在时间 n·poly(2^D) 内被经典模拟。该方法使用矩阵乘积态和张量网络收缩，证明当 D = O(log n) 时，模拟是高效的。该结果将先前针对受限线路的工作扩展至一般多项式大小、多项式深度的量子线路，且允许任意两量子比特门作用范围。

ABSTRACT

We consider recent works on the simulation of quantum circuits using the formalism of matrix product states and the formalism of contracting tensor networks. We provide simplified direct proofs of many of these results, extending an explicit class of efficiently simulable circuits (log depth circuits with 2-qubit gates of limited range) to the following: let C be any poly sized quantum circuit (generally of poly depth too) on n qubits comprising 1- and 2- qubit gates and 1-qubit measurements (with 2-qubit gates acting on arbitrary pairs of qubit lines). For each qubit line j let D_j be the number of 2-qubit gates that touch or cross the line j i.e. the number of 2-qubit gates that are applied to qubits i,k with i \leq j \leq k. Let D=max_j D_j. Then the quantum process can be classically simulated in time n poly(2^D). Thus if D=O(log n) then C may be efficiently classically simulated.

研究动机与目标

• 通过矩阵乘积态和张量网络收缩方法，为量子线路的经典可模拟性结果提供更简单、更直接的证明。
• 将高效可模拟的量子线路类别扩展至超越以往限制（如门作用范围受限或深度对数级）的范围。
• 证明任意多项式大小的量子线路若具有有界门交叉深度 D，均可在时间 n·poly(2^D) 内被经典模拟，且当 D = O(log n) 时模拟效率更高。
• 证明该方法即使在存在自适应测量的情况下仍适用，且在相同 D 条件下保持多项式时间模拟。

提出的方法

• 通过合并连续的单量子比特门，并将同一量子比特线上的连续两量子比特门合并，定义量子线路的简化形式。
• 为每个量子比特线 i 定义门交叉深度 D_i，即作用于满足 j ≤ i ≤ k 的量子比特 j,k 的两量子比特门的数量，并令 D = max_i D_i。
• 使用矩阵乘积态（MPS）形式表示量子态，其中每个张量对应一个门或量子比特线，通过索引收缩模拟演化过程。
• 通过依次对每条量子比特线上的索引进行求和来收缩张量网络，每条线的计算成本受 2^{O(D)} 限制，原因在于影响任一单一线路的门数有限。
• 对于测量概率，通过添加一个反射的伴随线路并插入投影算符，然后以保持每条线 O(D) 个门的方式收缩所有索引。
• 通过逐个模拟测量、用投影算符更新线路并选择条件门的方式处理自适应测量，所有操作均在相同的时间界内完成。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能使用比现有张量网络或树宽方法更简单、更直接的方法证明量子线路的经典可模拟性？
• RQ2 在门作用范围受限或深度对数级之外，电路结构的精确条件是什么，才能实现高效经典模拟？
• RQ3 能否将高效可模拟电路的类别扩展至包含任意两量子比特门相互作用，同时保持高效模拟？
• RQ4 以每条量子比特线定义的门交叉深度 D 是否能完全刻画一般量子线路的经典可模拟性？
• RQ5 在相同的基于 D 的复杂度界下，自适应测量是否也能被高效经典模拟？

主要发现

• 任意具有 n 个量子比特和任意两量子比特门的多项式大小量子线路，均可在时间 n·poly(2^D) 内被经典模拟，其中 D 为任意单条量子比特线上穿过的两量子比特门的最大数量。
• 若 D = O(log n)，则模拟时间变为 n 的多项式函数，意味着该线路可在经典计算机上高效模拟。
• 即使对于具有自适应测量的线路，只要门交叉深度 D 有界，该结果依然成立。
• 该方法适用于标准基测量和对量子比特子集的联合测量，当 D = O(log n) 时模拟时间仍保持多项式。
• 与依赖树分解或图论形式化的先前方法相比，该证明要简单得多且更具直接性。
• 该框架可推广至固定维度 d 的高维量子比特（qudits），但本文为清晰起见聚焦于量子比特（d=2）。