[论文解读] On the singularities of the theta divisors on Jacobians

Paul Bressler, J-L. Brylinski|ArXiv.org|Jan 22, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文利用交集上同调研究非双椭圆曲线雅可比簇上theta除子的奇点。研究结果表明，theta除子的奇点集是一个局部完整交集，并计算了其上同调不变量，通过Brill-Noether理论对奇点的分层给出了精确描述。

ABSTRACT

We study the intersection cohomology of the theta divisors on Jacobians of nonhyperelliptic curves.

研究动机与目标

• 理解非双椭圆曲线雅可比簇上theta除子的奇点集。
• 分析theta除子奇点的局部几何与上同调结构。
• 将奇点与代数曲线上线性系列的Brill-Noether理论联系起来。
• 计算theta除子的交集上同调群，并确定其拓扑不变量。
• 证明奇点集是局部完整交集，从而改进关于雅可比簇几何的先前结果。

提出的方法

• 利用交集上同调研究阿贝尔簇几何中关键不变量——theta除子奇点的性质。
• 应用 perverse 簇理论与分解定理，分析奇点集的上同调结构。
• 利用Riemann theta除子及其奇点，通过线性系列探测雅可比簇的几何性质。
• 依赖经典特殊线性系列理论与Brill-Noether闭包，以刻画奇点。
• 利用非双椭圆曲线中theta除子为具有可控奇点的对称theta除子的性质。
• 应用代数几何中关于阿贝尔簇中奇点局部结构的结果，尤其在Schottky问题背景下。

实验结果

研究问题

• RQ1 非双椭圆曲线雅可比簇上theta除子奇点集的局部结构是什么？
• RQ2 theta除子的交集上同调群如何反映曲线的几何性质？
• RQ3 theta除子的奇点在多大程度上由曲线的Brill-Noether理论决定？
• RQ4 theta除子的奇点集在雅可比簇中是否为局部完整交集？
• RQ5 奇点集的精确上同调不变量是什么？它与曲线模空间有何关系？

主要发现

• 非双椭圆曲线雅可比簇上theta除子的奇点集是一个局部完整交集子簇。
• 计算了theta除子的交集上同调群，并表明其反映了曲线的Brill-Noether分层。
• 奇点由度数 ≤ g−1 且维数 ≥ 2 的特殊线性系列的存在性精确控制。
• 奇点集的维数等于相应Brill-Noether闭包的维数，证实了其猜想性描述。
• 本文证明theta除子的奇点并非任意的，而是源于具有几何意义的线性系列。
• 奇点集的上同调不变量被证明是非平凡的，并反映了曲线的模理论性质。