[论文解读] On the size of a finite vacant cluster of random interlacements with small intensity

Augusto Teixeira|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用 1

一句话总结

该论文为小强度 u 下 d ≥ 5 时随机穿插模型中包含原点的有限空集簇的直径和体积建立了拉伸指数尾部界。通过级联论证和路径避让估计，证明了以高概率，唯一无限空集分量在原点的大邻域中普遍存在，并为子临界相中有限簇的直径和体积提供了精确的指数衰减估计。

ABSTRACT

In this paper we establish some properties of percolation for the vacant set of random interlacements, for d at least 5 and small intensity u. The model of random interlacements was first introduced by A.S. Sznitman in arXiv:0704.2560. It is known that, for small u, almost surely there is a unique infinite connected component in the vacant set left by the random interlacements at level u, see arXiv:0808.3344 and arXiv:0805.4106. We estimate here the distribution of the diameter and the volume of the vacant component at level u containing the origin, given that it is finite. This comes as a by-product of our main theorem, which proves a stretched exponential bound on the probability that the interlacement set separates two macroscopic connected sets in a large cube. As another application, we show that with high probability, the unique infinite connected component of the vacant set is `ubiquitous' in large neighborhoods of the origin.

研究动机与目标

• 分析小强度 u 下随机穿插模型中包含原点的有限空集簇的大小分布。
• 在大方盒中建立互斥集将两个宏观连通集分离的概率的拉伸指数上界。
• 展示唯一无限空集分量在原点大邻域中的普遍存在性。
• 在亚临界相中，为原点处有限空集簇的直径和体积提供定量尾部估计。
• 将对随机穿插模型渗滤性质的理解扩展至无限分量存在性之外。

提出的方法

• 使用级联论证表明，若穿插集在大方盒中分离了宏观分量，则该分离特性会传播至更细尺度。
• 采用基于嵌套方盒的尺度分解，方盒尺寸为 Lκ = L₀(80L)κ（κ ≥ 0），其中 L₀ ≥ 1 且 L ≥ 40。
• 应用强马氏性质和路径耦合技术，控制不同尺度下分离事件的概率。
• 利用有限集容量的估计以及随机游动路径的避让性质，对分离概率进行上界控制。
• 引入集合的“填充”概念以分析空集中的连通性和分离性，关键引理涉及填充集合的直径和边界性质。
• 结合路径避让与分量分离的结果，推导出定理 3.2 中的主要拉伸指数上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定有限簇为有限时，包含原点的有限空集簇的直径的尾部行为如何？
• RQ2 随着簇大小增加，原点处有限空集簇的体积在概率上的衰减速度如何？
• RQ3 唯一无限空集分量在原点大邻域中“普遍存在”的程度如何？
• RQ4 能否获得簇大小尾部衰减的匹配下界与上界，其指数为何？
• RQ5 由于长程依赖性，穿插模型的标度性质与 i.i.d. 伯努利渗滤的差异体现在何处？

主要发现

• 对于 d ≥ 5 且小 u，给定有限簇时，其直径至少为 N 的概率衰减速度至少为 exp(−c₅(u)N)，至多为 c₆ exp(−c₇N^α)，其中某 α > 0。
• 原点处有限空集簇体积为 V 的概率衰减速度至少为 c₈(u) exp(−c₉V^{(d−2)/d} log V)，至多为 c₆ exp(−c₇V^{α/d})，其中 V ≥ 1。
• 以高概率，唯一无限空集分量与 B(0, N) 中任意直径至少为 γN 的连通子集的边界相交，对任意 γ ∈ (0,1)，该性质成立的概率至少为 1 − c₃ exp(−c₄N^α)。
• 在 B(0, N) 中，任意直径至少为 (log N)^{(1+ǫ)/α} 的空集连通子集未能与无限空集分量相交的概率随 N → ∞ 而趋于零。
• 分离事件——即穿插集在大方盒中分离两个宏观分量——具有阶为 exp(−c₂N^α) 的拉伸指数尾部界，这是关键的技术结果。
• 结果对随机穿插测度的高依赖结构具有鲁棒性，这使得 i.i.d. 渗滤技术无法直接应用。