[论文解读] On the Size of Good-For-Games Rabin Automata and Its Link with the Memory in Muller Games

Antonio Casares, Thomas Colcombet+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

semigroups and automata theory被引用 3

一句话总结

本文建立了识别Müller语言的最小小游戏自动机（GFG）Rabin自动机大小与以该语言作为获胜条件的Müller游戏所需最小记忆之间的紧密对应关系。研究证明，这些最小的GFG Rabin自动机相较于确定性自动机具有指数级的紧凑性，揭示了Müller游戏中色彩记忆可能远大于无约束记忆，且通过Zielonka树结构提供了多项式时间构造方法。

ABSTRACT

In this paper, we look at good-for-games Rabin automata that recognise a Muller language (a language that is entirely characterised by the set of letters that appear infinitely often in each word). We establish that minimal such automata are exactly of the same size as the minimal memory required for winning Muller games that have this language as their winning condition. We show how to effectively construct such minimal automata. Finally, we establish that these automata can be exponentially more succinct than equivalent deterministic ones, thus proving as a consequence that chromatic memory for winning a Muller game can be exponentially larger than unconstrained memory.

研究动机与目标

• 建立最小小游戏Rabin自动机的大小与以给定获胜条件赢得Müller游戏所需最小记忆之间的结构性与量化关系。
• 利用Zielonka树为Müller语言提供最小小游戏Rabin自动机的一般构造方法。
• 证明Müller游戏中色彩记忆的大小可能远大于无约束记忆，从而解决游戏复杂性领域的一个关键问题。

提出的方法

• 利用Zielonka树作为Müller条件的结构性表示，以刻画记忆需求并指导自动机构造。
• 基于字母表的子集定义图GFn，其中顶点代表颜色集合，边表示在Rabin条件下存在不相容性。
• 应用极值图论，特别是Turán型界和Erdős–Ko–Rado定理的变体（定理29），以界定GFn的色数。
• 利用Stirling近似推导GFn色数的渐近下界，该色数对应于最小小游戏Rabin自动机的最小大小。
• 从GFn的色 coloring 构造最小小游戏Rabin自动机，确保其能正确识别目标Müller语言。
• 证明赢得L-游戏所需的最小记忆大小等于L的最小小游戏Rabin自动机的最小状态数，从而建立游戏记忆与自动机大小之间的对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 最小小游戏Rabin自动机的大小与以给定获胜条件赢得Müller游戏所需的最小记忆之间的确切关系是什么？
• RQ2 能否高效构造Müller语言的最小小游戏Rabin自动机？该构造是否与语言的Zielonka树相关？
• RQ3 Müller游戏中色彩记忆的大小与无约束记忆相比如何？该差距是否可能为指数级？
• RQ4 是否存在一种通用方法来构造Müller语言的最小小游戏Rabin自动机？该方法是否依赖于Zielonka树等结构性属性？
• RQ5 对于某些Müller语言，最小小游戏Rabin自动机的大小是否存在渐近下界？其增长是否可能为指数级？

主要发现

• 对于Müller语言L，最小小游戏Rabin自动机的大小恰好等于赢得所有L-游戏所需的最小记忆大小。
• 当L通过其Zielonka树给出时，L的最小小游戏Rabin自动机可在多项式时间内构造。
• 在L-游戏获胜中所需的色彩记忆可能远大于无约束记忆，即使后者仅随字母表大小线性增长。
• 编码Rabin条件的图GFn的色数为最小小游戏Rabin自动机大小提供了紧致下界，其增长为Ω(1.116^n)。
• 对于无穷多个n，GFn的色数至少为α^n（α > 1），证明了最小小游戏Rabin自动机相较于确定性自动机可具有指数级紧凑性。
• 通过GFn的着色构造最小小游戏Rabin自动机是最优的，并可直接得出Müller游戏的最小记忆大小。