[论文解读] On the size of Siegel disks with fixed multiplier for cubic polynomials

Arnaud Chéritat|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 2

一句话总结

本文通过固定不动点的乘子λ，研究三次多项式中Siegel圆盘的大小，分析线性化参数化收敛半径。引入次调和函数−log r，其Laplacian µλ为支撑在类似中性情形下Zakeri曲线的曲线上。主要结果证明当λₙ = exp(2πi pₙ/qₙ)趋近于有界型无理旋转数λ时，µλₙ弱-*收敛于µλ。

ABSTRACT

We study the slices of the parameter space of cubic polynomials where we fix the multiplier of a fixed point to some value $\lambda$. The main object of interest here is the radius of convergence of the linearizing parametrization. The opposite of its logarithm turns out to be a sub-harmonic function of the parameter whose Laplacian $\mu_\lambda$ is of particular interest. We relate its support to the Zakeri curve in the case the multiplier is neutral with a bounded type irrational rotation number. In the attracting case, we define and study an analogue of the Zakeri curve, using work of Petersen and Tan. In the parabolic case, we define an analogue using the notion of asymptotic size. We prove a convergence theorem of $\mu_{\lambda_n}$ to $\mu_\lambda$ for $\lambda_n= \exp(2\pi i p_n/q_nn)$ and $\lambda = \exp(2\pi i heta)$ where $ heta$ is a bounded type irrational and $p_n/q_n$ are its convergents.

研究动机与目标

• 分析在固定乘子下，三次多项式参数空间中Siegel圆盘大小的依赖关系。
• 定义并研究吸引与抛物情形下Zakeri曲线的类比结构。
• 证明当λₙ = exp(2πi pₙ/qₙ)趋近于有界型无理旋转数λ时，测度µλₙ收敛于µλ。
• 将−log r的Laplacian支撑与临界点边界、退化抛物不动点等动力结构联系起来。

提出的方法

• 使用线性化参数化ψθ定义Siegel圆盘的共形半径r。
• 引入次调和函数−log r及其Laplacian µλ = ∆(−log r)，并证明其总质量为2π。
• 在吸引情形下，利用Petersen-Tan定理证明µλ的支撑为Zλ，即两个临界点均位于U(P)边界上的参数集合。
• 在中性情形（有界型），证明µλ的支撑为Zakeri曲线。
• 在抛物情形下，定义渐近大小L，并证明−log L为次调和函数，其Laplacian支撑于退化不动点处。
• 应用连分数逼近与畸变估计，证明沿渐近收敛子序列，µλₙ弱-*收敛于µλ。

实验结果

研究问题

• RQ1 当乘子λ固定且Siegel圆盘半径最小时，参数空间的结构如何？
• RQ2 测度µλ = ∆(−log r)的支撑如何与Siegel圆盘或域的动态边界相关？
• RQ3 在吸引与抛物情形下，能否定义Zakeri曲线的类比结构？
• RQ4 当λₙ = exp(2πi pₙ/qₙ)趋近于有界型无理λ时，测度µλₙ的行为如何？
• RQ5 在抛物情形下，渐近大小L的作用是什么？其与−log L的Laplacian有何关联？

主要发现

• 在有界型旋转数的中性情形下，µλ = ∆(−log r)的支撑恰好为Zakeri曲线。
• 在吸引情形下，µλ的支撑为Zλ，即两个临界点均位于U(P)边界上的参数集合，其中U(P)为线性化映射圆盘的像。
• 在抛物情形下，−log L的Laplacian为退化不动点（即具有过多花瓣的不动点）处的Dirac质量之和。
• 当λₙ = exp(2πi pₙ/qₙ)趋近于有界型无理λ时，测度µλₙ弱-*收敛于µλ。
• 对于|c| ≥1，有|fn,c(z) − Rθ(z)| ≤ O(|pn/qn − θ| / d0(r⁻¹|z|))，表明迭代函数列一致收敛。
• 建立极限上确界lim supₙ→∞ sup|c|≥1 (un(c) − uθ(c)) ≤ 0，意味着次调和函数列收敛。