[论文解读] On the sizes of the Jordan blocks of monodromies at infinity

Yutaka Matsui, Kiyoshi Takeuchi|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2012

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文利用混合Hodge模与 perverse 她aves 的工具，为多项式映射 f: ℂⁿ → ℂ 在无穷远处的单值群中，对应于特征值 λ ≠ 1 的若尔当代数块的大小与数量建立了通用上界。关键结果将 Dimca-Saito 对 λ = 1 的界推广至所有 λ ≠ 1，表明在 Φⱼ^∞ 中，特征值 λ 对应的最大若尔当代数块大小至多为 j+1，并通过无穷远处除数的各向结构上的局部系统，给出了此类最大块数量的上同调界。

ABSTRACT

We obtain general upper bounds of the sizes and the numbers of Jordan blocks for the eigenvalues $λ ot= 1$ in the monodromies at infinity of polynomial maps.

研究动机与目标

• 将无穷远处单值群中特征值 λ = 1 的若尔当代数块大小上界推广至所有 λ ≠ 1。
• 为特征值 λ ≠ 1 的 Φⱼ^∞ 中大小为 j+1 的最大若尔当代数块数量推导上界。
• 在不假设在无穷远处的良态性或非退化性条件下建立这些上界，将先前结果推广至一般多项式映射。
• 利用混合 Hodge 模中权过滤与初等分解的结构，分析单值作用。

提出的方法

• 利用多项式映射全空间上 perverse 她aves 的邻近层函子与分解定理。
• 应用 Gr^W(F_λ) 的初等分解的几何描述，以分析单值作用。
• 通过单值算子的对数，构造 Φ_u − id 的幂零部分 N_λ 与单值部分 M_λ。
• 利用与 F_λ ⊕ F_λ̄ 相关联的混合 Hodge 模上的权过滤 W，以界定若尔当代数块的大小。
• 分析 N_λ^j 在 U 上的像的上同调，以界定最大若尔当代数块的数量。
• 应用各向 U_I 上局部系统 L_λ,I 的结构，以界定所涉上同调群的维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无穷远处单值群 Φⱼ^∞ 中，特征值 λ ≠ 1 的若尔当代数块的最大可能大小是多少？
• RQ2 在 Φⱼ^∞ 中，特征值 λ ≠ 1 的大小为 j+1 的若尔当代数块最多有多少个？
• RQ3 此类最大若尔当代数块的数量能否以无穷远处的牛顿多面体的几何性质来界定？
• RQ4 混合 Hodge 模的权过滤与初等分解如何约束 λ ≠ 1 时的单值作用？
• RQ5 各向 U_I 上的局部系统 L_λ,I 在控制单值群的上同调不变量中起什么作用？

主要发现

• 在 Φⱼ^∞ 中，特征值 λ ≠ 1 的任意若尔当代数块大小至多为 j+1，将单值定理推广至非 1 特征值。
• 在 Φⱼ^∞ 中，特征值 λ ≠ 1 的大小为 j+1 的若尔当代数块数量，受上同调群 H^{j−n+1}(U; G) 的维数限制，其中 G = Im(N_λ^j) ⊂ F_λ。
• 该数量进一步受 dim H^{j−n+1}(U; Gr^{W}_{n−j−1} F_λ) 限制，该量控制权过滤的分量的贡献。
• 最大若尔当代数块数量的上界由各向 U_I 上局部系统 L_λ,I 的上同调控制，其中在满足 i ∉ R_λ 的分量 E_i 周围，单值作用为 λ^{-b_i} ≠ 1。
• 对于 0 ≤ j ≤ n−2，特征值 λ ≠ 1 的大小为 j+1 的若尔当代数块数量通常为零，表明其广义特征空间的结构比上同调情形更简单。
• 结果在不假设在无穷远处的良态性或非退化性条件下成立，因此适用于一般多项式映射。