[论文解读] On the Skolem Problem for Continuous Linear Dynamical Systems

Ventsislav Chonev, Joël Ouaknine+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

semigroups and automata theory参考文献 7被引用 8

一句话总结

该论文在Schanuel猜想的假设下建立了有界连续Skolem问题的可判定性，表明满足线性微分方程的指数多项式零点可通过有限精度计算检测。当频率的有理线性独立性至多为一个，或存在两个此类频率且特征根为单重时，该无界问题可约化为有界情形，其可判定性与丢番图逼近的深刻结果相关联。

ABSTRACT

The Continuous Skolem Problem asks whether a real-valued function satisfying a linear differential equation has a zero in a given interval of real numbers. This is a fundamental reachability problem for continuous linear dynamical systems, such as linear hybrid automata and continuous-time Markov chains. Decidability of the problem is currently open---indeed decidability is open even for the sub-problem in which a zero is sought in a bounded interval. In this paper we show decidability of the bounded problem subject to Schanuel's Conjecture, a unifying conjecture in transcendental number theory. We furthermore analyse the unbounded problem in terms of the frequencies of the differential equation, that is, the imaginary parts of the characteristic roots. We show that the unbounded problem can be reduced to the bounded problem if there is at most one rationally linearly independent frequency, or if there are two rationally linearly independent frequencies and all characteristic roots are simple. We complete the picture by showing that decidability of the unbounded problem in the case of two (or more) rationally linearly independent frequencies would entail a major new effectiveness result in Diophantine approximation, namely computability of the Diophantine-approximation types of all real algebraic numbers.

研究动机与目标

• 解决连续线性动力系统中一个基本的可达性问题——连续Skolem问题的可判定性。
• 研究具有实代数系数和初值条件的线性微分方程的实值解是否在给定区间内存在零点。
• 确定无界版本问题可约化为有界版本的条件。
• 将可判定性与超越数论中的深刻猜想（特别是Schanuel猜想和有效丢番图逼近）联系起来。

提出的方法

• 利用Schanuel猜想证明指数多项式可进行因式分解，从而通过有限精度数值计算实现零点检测。
• 分析具有代数系数的指数多项式之和的线性微分方程解的结构。
• 应用Kronecker逼近定理处理有理线性独立频率下的稠密轨道行为。
• 当至多存在一个有理线性独立频率，或存在两个此类频率且所有特征根均为单重时，将无界问题约化为有界问题。
• 采用半代数集与细胞分解方法分析相空间中解集的几何结构。
• 证明：若一般双频情形下问题可判定，则所有实代数数的丢番图逼近类型均可计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Schanuel猜想下，有界连续Skolem问题是否可判定？
• RQ2 在何种条件下，无界连续Skolem问题可约化为有界问题？
• RQ3 频率的有理线性独立性在问题可判定性中起何种作用？
• RQ4 在双频情形下，是否可在无额外假设下实现可判定性？这将对丢番图逼近产生何种影响？
• RQ5 为实现多个独立频率下无界问题的可判定性，需要哪些有效的丢番图逼近结果？

主要发现

• 在Schanuel猜想假设下，有界连续Skolem问题可判定，且零点可通过有限精度数值方法检测。
• 当至多存在一个有理线性独立频率时，无界问题可约化为有界问题。
• 当存在两个有理线性独立频率且所有特征根均为单重时，无界问题亦可约化为有界情形。
• 若在两个或更多有理线性独立频率的情形下无界问题可判定，则意味着所有实代数数的丢番图逼近类型均可计算。
• 在无此类假设时，问题仍为开放问题，其可判定性与有效丢番图逼近中的未解问题密切相关。