[论文解读] On the slope of the moduli space of genus 15 and 16 curves

Dennis Tseng|arXiv (Cornell University)|May 1, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文更正了张和冉（1986）用于计算亏格15和16曲线模空间斜率的公式中的符号错误。通过使用修正后的公式重新计算1参数空间曲线族的斜率界限，作者得出：$ s(\overline{\mathscr{M}_{15}}) > 6.53 $，确认了其单有理化性；而 $ s(\overline{\mathscr{M}_{16}}) \gtrsim 6.008 $，其单有理化性仍为开放问题。

ABSTRACT

We revisit the work of Chang and Ran on bounding the slopes of $\overline{\mathscr{M}_{15}}$ and $\overline{\mathscr{M}_{16}}$, correct one of the formulas used at the conclusion of the argument, and recompute the lower bounds on the slopes, yielding $s(\overline{\mathscr{M}_{15}})>6.5$ but not for $\overline{\mathscr{M}_{16}}$. Our contribution only involves plugging in formulas.

研究动机与目标

• 更正张和冉（1986）在计算 $ \overline{\mathscr{M}_{15}} $ 和 $ \overline{\mathscr{M}_{16}} $ 斜率时所用的陈类公式中的符号错误。
• 使用修正后的公式重新计算亏格15和16曲线模空间斜率的下限界限。
• 评估在修正计算后，原始声称的 $ s(\overline{\mathscr{M}_{16}}) > 6.5 $ 是否仍然成立。
• 根据修正后的斜率估计，判断 $ \overline{\mathscr{M}_{16}} $ 的单有理化性是否仍为开放问题。

提出的方法

• 重新审视 $ \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^3 $ 中曲面的虚拟陈数的退化点公式，更正 [HT84] 原始公式中的符号错误。
• 将修正后的定理2.1应用于通过单态（monads）构造的空间曲线族，计算 $ c_1(Z)^2 $ 和 $ c_2(Z) $。
• 利用修正后的陈数计算，重新推导 $ \overline{\mathscr{M}_{15}} $ 的斜率，得出 $ s(\overline{\mathscr{M}_{15}}) = \frac{98}{15} \approx 6.53 $。
• 将相同修正后的公式应用于 [CR91] 中的类型 $ \beta $ 族，重新计算亏格16曲线的 $ \delta_0 $ 和 $ \delta_1 $ 的斜率贡献。
• 计算在基变换与爆破构造下 $ \lambda $、$ \delta_0 $ 和 $ \delta_1 $ 的拉回，以确定诱导映射到 $ \overline{\mathscr{M}_{16}} $ 的斜率。
• 验证 $ \delta_0 $ 的修正项与 [CR91] 中的一致，确保对 $ \overline{\mathscr{M}_{16}} $ 的斜率重新计算结果一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 [CR86] 中用于计算 $ \overline{\mathscr{M}_{15}} $ 斜率的原始公式是否含有影响斜率界限的符号错误？
• RQ2 在修正 [CR86] 中的公式后，$ \overline{\mathscr{M}_{15}} $ 的斜率下限的正确值是多少？
• RQ3 修正后的计算是否仍支持 $ \overline{\mathscr{M}_{15}} $ 为单有理化的原始结论？
• RQ4 在修正 [CR91] 中的公式后，$ \overline{\mathscr{M}_{16}} $ 的斜率是否仍大于6.5？
• RQ5 对 $ \overline{\mathscr{M}_{16}} $ 的斜率估计修正后，其单有理化性是否仍为开放问题？

主要发现

• 修正后的 $ \overline{\mathscr{M}_{15}} $ 斜率界限为 $ \frac{98}{15} \approx 6.53 $，超过6.5，确认了原始的单有理化性结论。
• 原始声称的 $ s(\overline{\mathscr{M}_{15}}) > 6.66 $ 被修正为 $ s(\overline{\mathscr{M}_{15}}) > 6.53 $，但 $ \overline{\mathscr{M}_{15}} $ 为单有理化的结论依然成立。
• 对 $ \overline{\mathscr{M}_{16}} $ 重新计算的斜率为 $ \frac{1472}{245} \approx 6.008 $，显著低于原始声称的6.567。
• 修正后的 $ \overline{\mathscr{M}_{16}} $ 斜率不足以得出其为单有理化的结论，因此该问题仍为开放。
• 该修正解决了 [HT84] 中的符号错误及其在 [CR86] 和 [CR91] 中的传播，特别是在表达式 $ (-c_1(M) + 2c_1)c_3 $ 中的错误符号。
• 计算结果确认了 [CR91] 中 $ \delta_0 $ 的修正项与修正后的公式一致，验证了 $ \overline{\mathscr{M}_{16}} $ 斜率的重新计算结果。