[论文解读] On the small-time behaviour of Lévy-type processes

Victoria Knopova, René L. Schilling|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文建立了对一类一维Feller过程与Lévy型过程的Chung型重对数律（LIL），通过无穷小生成元的符号刻画其小时间路径行为。关键结果提供了过程在零附近上确界与增量的几乎必然下极限与上极限渐近性质，其归一化函数由符号导出，推广了Lévy过程的经典LIL结果。

ABSTRACT

We show some Chung-type $\liminf$ law of the iterated logarithm results at zero for a class of (pure-jump) Feller or Lévy-type processes. This class includes all Lévy processes. The norming function is given in terms of the symbol of the infinitesimal generator of the process. In the Lévy case, the symbol coincides with the characteristic exponent.

研究动机与目标

• 将经典Chung型重对数律（LIL）从Lévy过程推广至具有状态依赖特征的更广泛Feller过程类。
• 通过其无穷小生成元的符号刻画纯跳Feller过程的小时间行为，该符号推广了Lévy情形下的特征指数。
• 利用基于符号的归一化函数，推导过程在时间零附近的上确界与增量的几乎必然下极限与上极限结果。
• 建立关于 $ \text{liminf} \, |X_t - x| / w(t,x) $ 几乎必然为正或爆炸的判据，取决于符号的增长性。
• 通过变系数伪微分生成元引入状态依赖动力学，推广现有Lévy过程的LIL结果。

提出的方法

• 作者以Feller过程无穷小生成元的符号 $ p(x, \rho) $ 为核心工具，定义归一化函数 $ u^{-1}(x, t / \text{log}|\text{log}\tfrac{1}{t}|) $、$ v(t,x) $ 与 $ w(t,x) $，这些函数控制过程的小时间缩放。
• 利用符号的Lévy-Khintchine表示，特别是对跳测度与漂移分量的分析，推导特征函数 $ \rho \to \rho(x, \rho) $ 的界。
• 证明技术涉及通过指数矩估计特征函数 $ \rho \to \rho(x, \rho) $，并应用Fatou引理与Borel-Cantelli引理，获得几乎必然收敛结果。
• 基于特征函数实部的反证法：假设下极限为零，将与符号增长条件下的特征函数指数衰减性矛盾。
• 应用关键不等式 $ \text{Re}(e^{i\theta}) \to 1 $ 当 $ \theta \to 0 $，结合下界 $ |\text{Re}(z)| \to 1 $，在假设 $ \text{liminf} \, |X_t - x| / w(t,x) = 0 $ 时导出矛盾。
• 证明区分两种情形：当 $ \text{liminf}_{t \to 0} t g(1/w(x,t)) = c(x) > 0 $ 时，有 $ \text{liminf} \, |X_t - x| / w(t,x) > 0 $；当其趋于无穷时，蕴含 $ \text{liminf} = \text{infty} $

实验结果

研究问题

• RQ1 对于Feller过程，其上确界 $ \text{sup}_{0 \to s \to t} |X_s - x| $ 在时间零附近的小时间渐近行为如何？
• RQ2 如何利用无穷小生成元的符号定义归一化函数，以获得Feller过程的几乎必然LIL型结果？
• RQ3 在何种符号条件下，$ |X_t - x| / w(t,x) $ 的下极限几乎必然为正或趋于无穷？
• RQ4 如何将经典Lévy过程的LIL结果推广至Feller过程的非齐次设定？
• RQ5 函数 $ g(\rho) $（由符号导出）在决定LIL中归一化函数 $ w(t,x) $ 的增长速率方面起何作用？

主要发现

• 对于具有符号 $ p(x, \rho) $ 的Feller过程，$ \frac{\text{sup}_{0 \to s \to t} |X_s - x|}{u^{-1}(x, t / \text{log}|\text{log}\tfrac{1}{t}|)} $ 的下极限几乎必然等于一个正常数 $ C(x) $，其中 $ u $ 由符号导出。
• $ \frac{\text{sup}_{s \to t} |X_s - x|}{v(t,x)} $ 的上极限几乎必然为 0 或 $ +\text{infty} $，取决于符号的增长性。
• $ \frac{|X_t - x|}{w(t,x)} $ 的下极限几乎必然为正或无穷，取决于 $ \text{liminf}_{t \to 0} t g(1/w(x,t)) $ 是否为正或无穷，其中 $ g $ 是与符号相关的函数。
• 在对称Lévy情形下，若 $ \text{liminf}_{t \to 0} t \rho(1/w(t)) = c > 0 $，则 $ \text{liminf} \, |X_t| / w(t) > 0 $ 几乎必然；若极限为 $ \text{infty} $，则下极限几乎必然为 $ \text{infty} $。
• 证明表明，假设 $ \text{liminf} \, |X_t - x| / w(t,x) = 0 $ 将与特征函数的指数衰减性矛盾，因此下极限必为正。
• 当 $ \text{liminf}_{t \to 0} t g(1/w(x,t)) = c(x) > 0 $ 时，$ |X_t - x| / w(t,x) $ 的下极限几乎必然远离零，且若 $ \text{inf}_x c(x) > 0 $，则 $ \text{inf}_x \text{liminf} \, |X_t - x| / w(t,x) > 0 $